函数的最值1道

多元函数求极值f(x,y)=1+

以下解题基本没有新意，凑个趣画个图，给楼主参考 z=f(x,y)=1+xy-x-y，D={(x,y)|x^2≤y≤4}。(注：区域表达式中0≤x^0可以省略)。 因为z=f(x,y)=(1-x)(1-y)为两个一元函数1-x和1-y的乘积(是可分离变量函数)。 在没有约束条件时（x、y独立变化），显然没有最值（绿色区域函数恒正，无最大值；黄色区域函数横负无最小值）。 那么在闭的约束区域上，函数的最值必在边界L1:y=x^2或L2:y=4上取得。 在L1上 z(x)=(1-x)(1-x^2)=(1+x)*(1-x)^2,-2≤x≤2, z'(x)=(1-x)(3x+1),驻点为x1=...全部

  以下解题基本没有新意，凑个趣画个图，给楼主参考 z=f(x,y)=1+xy-x-y，D={(x,y)|x^2≤y≤4}。(注：区域表达式中0≤x^0可以省略)。 因为z=f(x,y)=(1-x)(1-y)为两个一元函数1-x和1-y的乘积(是可分离变量函数)。
   在没有约束条件时（x、y独立变化），显然没有最值（绿色区域函数恒正，无最大值；黄色区域函数横负无最小值）。 那么在闭的约束区域上，函数的最值必在边界L1:y=x^2或L2:y=4上取得。
   在L1上 z(x)=(1-x)(1-x^2)=(1+x)*(1-x)^2,-2≤x≤2, z'(x)=(1-x)(3x+1),驻点为x1=1,x2=-1/3。 z(-2)=-9,z(-1/3)=32/27,z(1)=0,z(2)=3。
   对应于f(-2,4)=-9,f(-1/3,1/9)=32/27,f(1,1)=0,f(2,4)=3。 在L2上 z(x)=3(x-1),-2≤x≤2,单调增加，z(-2)=-9,z(2)=3, 对应于f(-2,4)=-9,f(2,4)=3。
   这样就得到了函数z=f(x,y)=1+xy-x-y在约束区域D={(x,y)|x^2≤y≤4}上的最小值为f(-2,4)=-9，最大值为f(2,4)=3。 。收起