导数和微分求下列函数的n阶导数:
(1) y=ln(1+x)
(2) y=(sinx)^2
(3) y=xe^x
(4) y=1/(1+x)^(1/2)
要求:写出解题的详细过程
求下列函数的n阶导数:
(1) y=ln(1+x)
(2) y=(sinx)^2
(3) y=xe^x
(4) y=1/(1+x)^(1/2)
1）y=ln(1+x)
y'=1/(x+1)
y''=[0-1]/(x+1)^2=-1/(x+1)^2
y'''=[0-(-1)*2(x+1)]/(x+1)^4=2/(x+1)^3
y=[0-2*3(x+1)^2]/(x+1)^6=-6/(x+1)^4
……
所以：
y=(-1)^(n+1)*[(n-1)(n-2)]/(x+1)^n（n≥3）
2)y=(sinx)^2
y'=2sinx*cosx=sin2x
y''=(sin2x)'=2cos2x=...全部
求下列函数的n阶导数:
(1) y=ln(1+x)
(2) y=(sinx)^2
(3) y=xe^x
(4) y=1/(1+x)^(1/2)
1）y=ln(1+x)
y'=1/(x+1)
y''=[0-1]/(x+1)^2=-1/(x+1)^2
y'''=[0-(-1)*2(x+1)]/(x+1)^4=2/(x+1)^3
y=[0-2*3(x+1)^2]/(x+1)^6=-6/(x+1)^4
……
所以：
y=(-1)^(n+1)*[(n-1)(n-2)]/(x+1)^n（n≥3）
2)y=(sinx)^2
y'=2sinx*cosx=sin2x
y''=(sin2x)'=2cos2x=2sin(2x-π/2)
y'''=-4sin2x=4sin(2x-π)
y=-8cos2x=8cos(2x-3π/2)
y=16sin2x
……
所以：
y=2^(n-1)*sin[2x-(n-1)π/2]
3)y=xe^x
y'=e^x+xe^x=(1+x)e^x
y''=e^x+(1+x)e^x=(2+x)e^x
y'''=e^x+(2+x)e^x=(3+x)e^x
……
所以：
y=(n+x)e^x
4)y=1/(1+x)^(1/2)=(1+x)^(-1/2)
y'=(-1/2)(1+x)^(-3/2)
y''=(-1/2)(-3/2)(1+x)^(-5/2)
y'''=(-1/2)(-3/2)(-5/2)(1+x)^(-7/2)
……
所以：
y=(-1)^n*(2n+1)!/[n!*2^(2n+1)]*(1+x)^[-(2n+1)/2]
其中，对于：
(1/2)*(3/2)=(1*3)/2^2=[(1*2*3)/(2*1)]/2^2=[3!/(2*1!)]/2^2
=3!/[1!*2^3]
(1/2)*(3/2)*(5/2)=(1*3*5)/2^3=[(1*2*3*4*5)/(2*4)]/2^3
=[5!/2^2*(1*2)]/2^3
=5!/[2!*2^5]
(1/2)*(3/2)*(5/2)*(7/2)=(1*3*5*7)/2^4
=[(1*2*3*4*5*6*7)/(2*4*6)]/2^4
={7!/[2^3(1*2*3)]}/2^4
=7!/[3!*2^7]。
收起
