已知函数f(x)=x-1-lnx已知函
已知函数f(x)=x-1-lnx。
(1)求f（x）的最小值。
函数f(x)=x-1-lnx，定义域为：x＞0
且，f'(x)=1-(1/x)=(x-1)/x
则当f'(x)=0时有：x=1
又，当x＞1时，f'(x)=(x-1)/x＞0，函数f(x)单调递增；
当0＜x＜1时，f'(x)=(x-1)/x＜0，函数f(x)单调递减。
所以，f(x)在x=1处取得最小值f(1)=0
（2）求证：n属于正整数，e^1+1/2+1/3……1/n>n+1
用数学归纳法：
①当n=1时，左边=e^1=e≈2。 718，右边=1+1=2
所以，左边＞右边，等式成立
②假设当n=k（k∈N，k≥2...全部
已知函数f(x)=x-1-lnx。
(1)求f（x）的最小值。
函数f(x)=x-1-lnx，定义域为：x＞0
且，f'(x)=1-(1/x)=(x-1)/x
则当f'(x)=0时有：x=1
又，当x＞1时，f'(x)=(x-1)/x＞0，函数f(x)单调递增；
当0＜x＜1时，f'(x)=(x-1)/x＜0，函数f(x)单调递减。
所以，f(x)在x=1处取得最小值f(1)=0
（2）求证：n属于正整数，e^1+1/2+1/3……1/n>n+1
用数学归纳法：
①当n=1时，左边=e^1=e≈2。
718，右边=1+1=2
所以，左边＞右边，等式成立
②假设当n=k（k∈N，k≥2）时不等式成立，则：
e^[1+(1/2)+(1/3)+……+(1/k)]＞k+1…………………………（1）
③那么，当n=k+1时：
左边=e^[1+(1/2)+(1/3)+……+(1/k)+(1/k+1)]
=e^[1+(1/2)+(1/3)+……+(1/k)]*e^[1/(k+1)]
＞(k+1)*e^[1/(k+1)]……………………………………………（2）
而由第一问的结论知，当x＞1时，f(x)=x-1-lnx＞0
===> lnx＜x-1
===> x＜e^(x-1)
令x-1=1/(k+1)，则：x=[1/(k+1)]+1=(k+2)/(k+1)
所以：(k+2)/(k+1)＜e^[1/(k+1)]
代入到(2)式，就有：
当n=k+1时，左边＞(k+1)*e^[1/(k+1)]＞(k+1)*[(k+2)/(k+1)]=k+2=(k+1)+1=右边
综上，当n∈N时，不等式成立。收起
