已知函数fx=ln(1
(Ⅰ)f(x)=-lnx-ax2+x, 导函数g(x)=- 1/x-2ax+1=-(2ax+1/x)+1 根据基本不等式得 g(x)≤-2根号(2a)+1 ∵f (x)单调 ∴上式小于等于0∴a∈[ 1/8,+∞).当0<a< 1/8时,方程2ax2-x+1=0有两个不相等的正根x1,x2, 不妨设x1<x2, 则当x∈(0,x1)∪(x2,+∞)时,f(x)<0,当x∈(x1,x2)时,f(x)>0, 这时f(x)不是单调函数. 综上,a的取值范围是[ 1/8,+∞). ...全部
(Ⅰ)f(x)=-lnx-ax2+x, 导函数g(x)=- 1/x-2ax+1=-(2ax+1/x)+1 根据基本不等式得 g(x)≤-2根号(2a)+1 ∵f (x)单调 ∴上式小于等于0∴a∈[ 1/8,+∞).当0<a< 1/8时,方程2ax2-x+1=0有两个不相等的正根x1,x2, 不妨设x1<x2, 则当x∈(0,x1)∪(x2,+∞)时,f(x)<0,当x∈(x1,x2)时,f(x)>0, 这时f(x)不是单调函数. 综上,a的取值范围是[ 1/8,+∞). (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当且仅当a∈(0, 1 8)时,f(x)有极小值点x1和极大值点x2, 且x1+x2=12a,x1x2=12a. f(x1)+f(x2)=-lnx1-ax21+x1-lnx2-ax22+x2 =-(lnx1+lnx2)- 1 2(x1-1)- 1 2(x2-1)+(x1+x2) =-ln(x1x2)+ 1 2(x1+x2)+1=ln(2a)+14a+1. 令h(a)=ln(2a)+14a+1,a∈(0, 1 8], 则当a∈(0, 1 8)时,h'(a)= 1/a-14a^2=4a-14a^2<0,h(a)在(0, 1/8)单调递减, 所以h(a)>g( 1/8)=3-2ln2,即f(x1)+f(x2)>3-2ln2.。
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