高2数学不等式

还有一道类似的不等式看看这个老师

首先，解决一个简单问题 当n=2时，x1+x2=2， Q2=1/(k-x2)+1/(k-x1)=(2k-x1-x2)/(k^2-2k+x1x2) =2(k-1)/(k^2-2k+x1x2) ≤2(k-1)/(k^2-2k) 当且仅当x1,x2中有一个取0时等号成立； 以下假设n≥3，记qi=x1x2…x(i-1)x(i+1)…xn 1)若这n个数中有且只有一个取0，比如x1=0，则qi=0(i≥2)， q1=x2x3…xn≤[(x2+x3+…+xn)/(n-1)]^(n-1) =[n/(n-1)]^(n-1)=en Qn=原式≤1/(k-en)+(n-1)/k=M1 2)若这n个数中至少有...全部

  首先，解决一个简单问题 当n=2时，x1+x2=2， Q2=1/(k-x2)+1/(k-x1)=(2k-x1-x2)/(k^2-2k+x1x2) =2(k-1)/(k^2-2k+x1x2) ≤2(k-1)/(k^2-2k) 当且仅当x1,x2中有一个取0时等号成立； 以下假设n≥3，记qi=x1x2…x(i-1)x(i+1)…xn 1)若这n个数中有且只有一个取0，比如x1=0，则qi=0(i≥2)， q1=x2x3…xn≤[(x2+x3+…+xn)/(n-1)]^(n-1) =[n/(n-1)]^(n-1)=en Qn=原式≤1/(k-en)+(n-1)/k=M1 2)若这n个数中至少有2个取0，则qi=0 Qn=n/k=M2 显然有M1>M2 3)若这n个数都大于零，记T=x1x2…xn 假设x1≤x2≤…≤xn，则q1≥q2≥…≥qn，以下作调整 令x1’=xn’=(x1+xn)/2=y，则q1’=qn’=yq1/xn=yqn/x1 qi’=y^2qi/(x1xn) (i≠1,n) 那么1/(k-q1’)+1/(k-qn’)-1/(k-q1)-1/(k-qn)的分子 =2k(y-x1)(qn-q1)/(x1xn)-q1qn(xn-x1)^2/(2x1xn) =T(xn-x1)^2(2k-T)/(2x1xn)^2≥0 1/(k-qi’)-1/(k-qi)=(qi’-qi)/[(k-qi’)(k-qi)] =(xn-x1)^2qi/[2x1xn(k-qi’)(k-qi)]≥0 这表明Qn’-Qn≥0，即这n个数都大于零时，最大者与最小者 越接近所得的和越大 所以M3=n/(k-1)有可能为最大值！ 还要比较M1与M3的大小，先估计en的大小 en=[1+1/(n-1)]^(n-1)>e-e/(n-1) en-(n-en)k+(n-2)e =-(n-2)k+(n-2)e =-(n-2)(k-e)+(en-2)k 这表明两者的大小与k和n的关系有关 当e≤k≤e(n-2)/(n-e)时，M1>M3，若k>e(n-2)/(n-e)时，M3>M1 （注：本解答已经按高手提议做了修改，补充了一些。
  也希望大家提出意见和建议，谢谢！）。收起