问题5

互不相同的正整数a,b,c满足a+b+c=370,试求其最小公倍数数[a,b,c]的最小值

全部回答

2008-08-03

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    设m=[a,b,c]为a,b,c的最小公倍数。那么有正整数x,y,z使a=m/x,b=m/y,c=m/z, x,y,z不等，而且最大公约数(x,y,z)=1。 a+b+c=370--->m=370/[1/x+1/y+1/z]。
   因此要使m最小，只要使1/x+1/y+1/z最大。  不设一般性，可设z>y>x>=1。所以当x=1,y=2时，看z的不同值：z=3,z=4,z=5代入，得到的m都不是整数。
  当z=6时，m=222。注意到当y=3,时， 1/1+1/2+1/6>=1/1+1/3+1/z对任意z的都成立。因此x=1。y=2,z=6是使1/x+1/y+1/z最大的值，因此最小m为222(a,b,c为37，111，222)。
     最小公倍数数[a,b,c]的最小值为222。

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