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三角函数

有关三角函数:已知半径分别为R,r(R》r)的两圆外切,两条外公切线的夹角为a,求证sin=4(R-r)根号下Rr/(R+r)的平方

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2008-06-24

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  圆M半径r,圆N半径R。
  两圆的两条外公切线交于点P 圆M与一条外公切线切于点A,圆N与同一条外公切线切于点B 则:sin角APM =MA/PA =r/PB =NB/PB =R/(PB+AB) ==> sin角APM =(R-r)/(R+r) ==> cos角APM =2(√Rr)/(R+r) ==> sinA =sin(2*角APM) =2*sin角APM*cos角APM = 4(R-r)(√Rr)/(R+r)。

2008-06-24

50 0
    设圆A,B的连心线AB与公切线T1T2交于点C,则角ACT1=角BCT2=a/2,并且△ACT1相似于△BCT2,所以 BC/AC=r/R --->BC/(AC-BC)=r/(R-r) --->BC/(R+r)=r/(R-r) --->BC=r(R+r)/(R-r) 因此sin(a/2)=r/BC =r/[r(R+r)/(R-r)] =(R-r)/(R+r) cos(a/2)=√{1-[sin(a/2)]^2} =√{1-[(R-r)/(R+r)^2]^2} =1/(R+r)*√[(R+r)^2-(R-r)^2] =2√(Rr)/(R+r) 所以sina=2sin(a/2)cos(a/2) =4√(Rr)*(R-r)/(R+r)^2。
    。

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