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AA1=BB1=CC1，角AOB1=角BOC1=角COA1=60度，求证S三角形AOB1+S三角形BOC1+S三角形COA1小于根号下3
如果S三角形AOB1表示面积，则可作如下解。
作三角形ABC，以三角形ABC边BC，CA，AB为边向三角形ABC形外作正三角形A'BC,正三角形B'CA,正三角形C'AB。 连AA'，BB'，CC'。三线必交于一点，该交点为O，则O点即为三角形ABC费马点。
易证: AO+BO+CO=AA'=BB'=CC'=1。 设AO=x,BO=y,CO=z，则A'O=y+z,B'O=z+x,C'O=x+y， 所以 4S(AOB')=x(z+x)√3， 4S(BOC')=y(x+y)√3，4S(COA')=z(y+z)√3。
故4S(AOB')+4S(BOC')+4S(COA')=(x^2+y^2+z^2+yz+zx+xy)√3。 又 x+y+z=1，故有:x^2+y^2+z^2+yz+zx+xy>=2/3， 因此有 S(AOB')+S(BOC')+S(COA')>=(/3)/6 S(AOB')+S(BOC')+S(COA')=<(/3)/4。
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作三角形ABC，以三角形ABC边BC，CA，AB为边向三角形ABC形外作正三角形A'BC,正三角形B'CA,正三角形C'AB。 连AA'，BB'，CC'。三线必交于一点，该交点为O，则O点即为三角形ABC费马点。
易证: AO+BO+CO=AA'=BB'=CC'=1。 设AO=x,BO=y,CO=z，则A'O=y+z,B'O=z+x,C'O=x+y， 所以 4S(AOB')=x(z+x)√3， 4S(BOC')=y(x+y)√3，4S(COA')=z(y+z)√3。
故4S(AOB')+4S(BOC')+4S(COA')=(x^2+y^2+z^2+yz+zx+xy)√3。 又 x+y+z=1，故有:x^2+y^2+z^2+yz+zx+xy>=2/3， 因此有 S(AOB')+S(BOC')+S(COA')>=(/3)/6 S(AOB')+S(BOC')+S(COA')=<(/3)/4。
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