已知a,b∈R,且a+b=1,求
方法一:
(a-b)^2≥0
a^2-2ab+b^2≥0
a^2+b^2≥2ab
a^2+b^2+a^2+b^2≥2ab+a^2+b^2
2(a^2+b^2)≥(a+b)^2
a^2+b^2≥(a+b)^2/2……(*)
证明:
(a+2)^2+(b+2)^2
=a^2+4a+4+b^2+4b+4
=a^2+b^2+4(a+b)+4+4
≥(a+b)^2/2+4(a+b)+4+4 (利用*式)
=1/2+4+8 (因为a+b=1)
=25/2
方法二:
由条件a+b=1联想到直线方程,由欲证式左边联想到距离的平方,从而使问题转化为线段上动点与定点的距离的最小值问题。
如下图,a...全部
方法一:
(a-b)^2≥0
a^2-2ab+b^2≥0
a^2+b^2≥2ab
a^2+b^2+a^2+b^2≥2ab+a^2+b^2
2(a^2+b^2)≥(a+b)^2
a^2+b^2≥(a+b)^2/2……(*)
证明:
(a+2)^2+(b+2)^2
=a^2+4a+4+b^2+4b+4
=a^2+b^2+4(a+b)+4+4
≥(a+b)^2/2+4(a+b)+4+4 (利用*式)
=1/2+4+8 (因为a+b=1)
=25/2
方法二:
由条件a+b=1联想到直线方程,由欲证式左边联想到距离的平方,从而使问题转化为线段上动点与定点的距离的最小值问题。
如下图,a+b=1(a>0,b>0)表示直线AB在第一象限内的一段,(a+2)^2+(b+2)^2表示线段AB上一点N(a,b)到点M(-2,-2)的距离的平方,AB的中点C(1/2,1/2)
∵|MN|^2≥|MC|^2=25/2
∴(a+2)2+(b+2)2≥25/2
。
收起