若f(x)=ax*x+bx+c (a,b,c∈R)在区间[0,1]上恒有丨f(x)丨≤1.
⑴对所有这样的f(x),求丨a丨+丨b丨+丨c丨的最大值。
⑵试给出一个这样的f(x)，使丨a丨+丨b丨+丨c丨确实取到上述最大值.
顺便再问一下,怎么打出来平方,怎么发图片?
谢谢
用^2表示平方
因为f(1)=a+b+c,f(-1)=a-b+c,f(0)=c,所以
a=[f(0)+f(-1)]/2-f(0)
b=[f(1)-f(-1)]/2
c=f(0)
所以f(x)={[f(1)+f(-1)]/2-f(0)}x^2+[f(1)-f(-1)]x/2+f(0)
且|f(1)|≤1,|f(-1)|≤1,|f(0)|≤1
|a|+|b|+|c|=|[f(1)+f(-1)]/2-f(0)]|+|[f(1)-f(-1)]/2|+|f(0)|≤
|f(1)+f(-1)|/2+|f(1)-f(-1)|/2+2|f(0)|=
[1/2乘以根号下(|f(1)+f(-1)|+|f(1)...全部
用^2表示平方
因为f(1)=a+b+c,f(-1)=a-b+c,f(0)=c,所以
a=[f(0)+f(-1)]/2-f(0)
b=[f(1)-f(-1)]/2
c=f(0)
所以f(x)={[f(1)+f(-1)]/2-f(0)}x^2+[f(1)-f(-1)]x/2+f(0)
且|f(1)|≤1,|f(-1)|≤1,|f(0)|≤1
|a|+|b|+|c|=|[f(1)+f(-1)]/2-f(0)]|+|[f(1)-f(-1)]/2|+|f(0)|≤
|f(1)+f(-1)|/2+|f(1)-f(-1)|/2+2|f(0)|=
[1/2乘以根号下(|f(1)+f(-1)|+|f(1)-f(-1)|)^2]+2f(0)=
{1/2乘以根号下[2(f^2(1)+f^2(-1))+2|f^2(1)-f^2(-1)|]}+2|f(0)|。
。。。。。。
因为|f(1)|+2|f(0)|≤3,
所以当|f(1)|≥|f(-1)|时:=|f(1)|+2|f(0)|≤3,
因为|f(-1)|+2|f(0)|≤3,
所以当|f(1)|＜|f(-1)|时:=|f(-1)|+2|f(0)|≤3,
所以总有:|a|+|b|+|c|≤3成立
上面式子取等号的条件为:
[f(1)+f(-1)]/2与f(0)异号。
。。。。①
|f(0)|=1。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。②
|f(1)|=1或|f(-1)|=1。。。。。。。。。。
③
由②及已知得:f(0)必定为f(x)在[0,1}上的最大值或者最小值
所以抛物线f(x)的对称轴为x=0,所以b=0,再与③结合有:|f(1)|=|f(-1)|=1
再与①结合得:f(0)=1,f(1)=-1,或f(0)=-1,f(1)=1
即c=1,a+b+c=-1或c=-1,a=b+c=1
所以a=-2,b=0,c=1或a=2,b=0,c=-1
所以|a|+|b|+|c|最大值为3,f(x)=-2x^2+1或f(x)=2x^2-1。收起
