解析几何
已知圆C：（x-1）2 + (y-2)2 =25，直线l：（2m+1）x+(m+1)y-7m-4=0 (m∈R).（1） 证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点。（2） 求直线被圆C截得的弦长最小l的方程。
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(1)解析,用特殊值法或者是待定系数法求出直线l恒过定点后,用两点距离公式证明圆心到定点的距离小于半径,则定点在圆内那么经过定点的直线必与圆相交,注:同几何画板,以下用^2表示平方
证明:第I步求定点
方法1(特殊值法):令m=-1/2
则原式1/2y+7/2-4=0
得:y=1
再令m=-1
则原式-x+3=0
得:x=3
所以直线系(或直线束)恒过定点P(3,1)
方法2(待定系数法):因为y系数待定(不为1)用待定系数法比较复杂便不做介绍
第II步
求两点距离
则|CP|=√[(3-1)^2+(1-2)^2]=√5
因为r=5
所以P在圆内
所以不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点
(2)解析,由常识或者是初中知识我们可以知道当P是l截圆C的弦长的中点时,弦长最短。
那么此时CP⊥l求出CP斜率,再求出l斜率,因为P点确定就可以求出直线方程,或者不代入P的坐标,因为k(l)=-(m+1)/(2m+1),求出m代入(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0 解:第I步,求斜率 k(CP)=(1-2)/(3-1)=-1/2 CP⊥l 所以k(l)=-1/k(CP)=-1/(-1/2)=2 第II步,求方程 方法1:因为P(3,1)∈l 所以y-1=2*(x-3),即l:2x-y-5=0 方法2:因为l满足(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0 所以k(l)=-(m+1)/(2m+1)=2 …… 求出来似乎不一样,算了~。
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那么此时CP⊥l求出CP斜率,再求出l斜率,因为P点确定就可以求出直线方程,或者不代入P的坐标,因为k(l)=-(m+1)/(2m+1),求出m代入(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0 解:第I步,求斜率 k(CP)=(1-2)/(3-1)=-1/2 CP⊥l 所以k(l)=-1/k(CP)=-1/(-1/2)=2 第II步,求方程 方法1:因为P(3,1)∈l 所以y-1=2*(x-3),即l:2x-y-5=0 方法2:因为l满足(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0 所以k(l)=-(m+1)/(2m+1)=2 …… 求出来似乎不一样,算了~。
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