搜索
首页 教育/科学 理工学科 数学

哪位高手能给我说说?

Polya定理是什么?

全部回答

2008-01-03

0 0
    Redfield-Polya 定理是组合数学理论中最重要的定理之一.自从 1927 年 Redfield 首次运用 group reduction function 概念,现在称之为群的循环指标(circle index of a group),至今 60 多年来,他在许多实际计数问题上得到了广泛的应用,它以置换群为理论基础,与生成函数有机地结合在一起,揭示了一类具有组合意义的计数的规律性.   抽象地说在一集合内,定义了一个等价关系,人们往往关心由这个等价关系所决定的等价类的数目,Refield-Polya 理论就是为解决这类问题而发展起来的复杂计数理论.   为了帮助读者理解,本章例举了较多的实例. §1 置换群的基本概念   设有限集合 ,集合中的元素称为“点”.集合 上的一个置换 是从 到自身上的 对应的映射: 设 是集合 上的另一个置换,置换 与 的乘积定义为复合映射:   例 1 设 上的二个置换: 和 , 求乘积   解 从定义出发, 得:   设 是集合 上的全部置换构成的集合,在复合映射定一的乘义下,集合 构成一个群,称为 次对称群 .对称群的任意子群称为置换群,因为它们都与集合 有关,一般也称为作用在 上的置换群.因为集合 的 排列有 个,而每个排列对应一个置换,反之一个置换也对应一个排列,从而有   置换的另一种表示方法是循环表示,它可简化置换的表达方式.   设 是正整数,且满足 ,在置换 中就有一个循环 我们称它为置换 的一个 循环. 显然这里要求 个点互不相同,从而整数 是使 成立的最小正整数.由循环的定义,不难推出任意一个置换 都可以表示成若干个互不相交的循环的积,即   例 2 将 化为互不相交循环积的形式.   解 先从点 计算, 故 有一个 3-循环 ,再从点 计算,,最后得: 。
     即 有 3-循环一个,2-循环一个,1-循环两个.有时为了简便,可将 1-循环省略不写,即:   由例 2 可看到 与 表示的置换是相同的.推广到一般情形,互不相交的循环积是可交换的,即: 这里 是 的互不相交的循环,   当两个循环的交非空时,两循环的乘积一般是不可交换的.   例如取例 1 中的 和 ,将它们分别化为不相交循环的乘积: 计算 , ,比较可知   设置换 ,它的逆置换为: 这是因为 为恒等置换.   设置换 为互不相交的循环,则   对置换 ,使 成立的最小正整数 称为置换 的阶记为 .由定义容易证明 其中 表示最小公倍数.   当 时,循环总可以写成若干个 循环和若干个 循环的乘积,此时若置换 中有偶数个 循环, 称为偶置换;若有奇数个 2-循环, 称为奇置换.这个定义是有意义的,因为对任意的 循环 ,,有:若 是一个偶置换,那么 或 就一定是奇置换,由此可知,在对称群 中,偶置换的数目与奇置换的数目相等,都等于 偶置换与奇置换的乘积仍为偶置换,在 中全部偶置换构成一个子群 ,称为 次交错群,显然   设 与 是对称群 中的两个置换, 与 称之为共轭,如果存在 使得   易知共轭关系为一个等价关系,从而 中的置换划分为若干个共轭类,同一共轭类的所有置换在分解为互不相交循环的乘积下,具有相同的循环长度.这里的循环的长度是指一个循环中点的个数;反之具有相同的循环长度的两个置换一定共轭.即:在对称群 中,两置换共轭的充分必要条件是它们具有相同的循环长度.   在对称群 中有多少个共轭类呢?先看一个简单的例子:   在对称群 中全部的共轭类为: 一个 循环, 一个 循环和一个 循环 二个 循环, 一个 循环,二个 循环, 四个 循环,   在 中一共有五个共轭类,而每一个共轭类恰好对应着数 4 的一种划分,即共轭类的数目等于整数4的划分数 .   一般地,任意 次对称群 中的共轭类的数目等于正整数 的划分数 .( 的定义见第十一章)   在对称群 的每个共轭类中至少有多少个置换呢?我们知道循环长度决定一个共轭类,若此共轭类中的置换有 个 循环, 个 循环,, 个 循环,这个共轭类记为 , , 这里 。
    若 ,则 被分解为 个互不相交的循环的乘积.   定理 1 共轭类 中置换的数目为: 证明 (见相关知识 注1)   作为例子,下表给出了对称群 的共轭类和分划的情况: 分划 共轭类中的一个置换 1+1+1+1+1 1+1+1+2 1+1+3 1+4 5 1+2+2 2+3 。
    。

类似问题换一批

热点推荐

热度TOP

相关推荐
加载中...

热点搜索 换一换

教育/科学
数学
院校信息
升学入学
理工学科
出国/留学
职业教育
人文学科
外语学习
学习帮助
K12
理工学科
数学
农业科学
生物学
建筑学
心理学
天文学
工程技术科学
化学
环境学
地球科学
生态学
物理学
数学
数学
举报
举报原因(必选):
取消确定举报