30.(1)求圆x^2+y^2=1上的点到两坐标轴的距离和的最大值及该点坐标 (2)求圆x^2+y^2=√2上的点到两坐标轴的距离和的最大值及该点坐标
1。
1 =x^2+y^2 >= 2|xy|
距离和 =L =|x|+|y|
L^2 =x^2+y^2 +2|xy| =1 +2|xy| = 2|xy|
距离和 =L =|x|+|y|
L^2 =x^2+y^2 +2|xy| =√2 +2|xy| <= 2√2
L <= 2^(3/4), 距离和的最大值 =2^(3/4)
此时,|x|=|y|,x^2+y^2 =√2
(x,y)= [2^(-1/4),2^(-1/4)],[-2^(-1/4),2^(-1/4)],
[2^(-1/4),-2^(-1/4)],[-2^(-1/4),-2^(-1/4)]。
解:(1)。令X=cost, y=sint, (0≤t≤2π),则园上的点M(x,y)到两坐标轴的距离和S=︱x︱+︱y︱=︱cost︱+︱sint︱=√2[︱cost︱cos(π/4)+︱sint︱sin(π/4)]
当t∈[0,π/2]时,S=√2[costcos(π/4)+sintsin(π/4)]=√2cos(t-π/4)
≤√2。
当t=π/4,即点M的坐标为(√2/2,√2/2)时等号成立。
当t∈[π/2,π]时,cost0,此时
S=√2[-costcos(π/4)+sintsin(π/4)]=-√2[costcos(π/4)-sintsin(π/4)
]=-√2cos(t+π/4)≤√2,当t=3π/4,即点M的坐标为(-√2/2,√2/2)时等号成立。
当t∈[π,3π/2]和t∈[π,2π]时,讨论方法基本相同,都可得出S的最大值为√2。
只是点M的位置不一样,前者M(-√2/2,-√2/2);后者M(√2/2,-√2/2)。
(2)。可设x=[2^(1/4)]cost, y=[2^(1/4)]sint。
用同样方法可得出园上动点M(X,Y)到两坐标轴距离和的最大值为[2^(1/4)]√2
=2^(3/4)。
取得最大值时点M的坐标用参数t表示就是t=π/4,3π/4,5π/4,9π/4。
30.(1)求圆x^2+y^2=1上的点到两坐标轴的距离和的最大值 及该点坐标 (2)求圆x^2+y^2=√2上的点到两坐标轴的距离和的最大值 及该点坐标