函数
已知函数f(x)是函数y=2/(10^x+1)-1 (x属于R)的反函数，寒暑g(x)的图像与函数y=(4-3x)/(x-1)的图像关于直线y=x-1成轴对称图形，记F(x)=f(x)+g(x).(1)求函数F(x)的解析试及定义域(2)试问在函数F(x)的图像上是否存在这样两个不同点A、B,使直线AB恰好与y轴垂直，若存在，求出A、B两点坐标；若不存在，说明理由.
全部回答
解：(1)由y=2/(10^x+1)-1 (x∈R),得10^x=(1-y)/(1+y),x=lg[(1-y)/(1+y)。
所以f(x)=lg[(1-x)/(1+x)] (-1<x<1)。
设P(x,y)是函数g(x)图像上的任意一点,则P(x,y)关于直线y=x-1对称的点的坐标是(y+1,x-1)。 由题设可知点(y+1,x-1)在函数y=(4-3x)/(x-1)的图像上,所以x-1=(4-3y-3)/(y+1-1)。
所以y=1/(x+2) (x≠-2)。 所以F(x)=f(x)+g(x)=lg[(1-x)/(1+x)]+1/(x+2),其定义域为{x|-1<x<1}。 (2)易知f(x)=lg[(1-x)/(1+x)] (-1<x<1)是减函数,g(x)=1/(x+2) (-1<x<1)也是减函数,所以F(x)在(-1,1)上是减函数。
故不存在这样两个不同点A、B,使直线AB恰好与y轴垂直。
设P(x,y)是函数g(x)图像上的任意一点,则P(x,y)关于直线y=x-1对称的点的坐标是(y+1,x-1)。 由题设可知点(y+1,x-1)在函数y=(4-3x)/(x-1)的图像上,所以x-1=(4-3y-3)/(y+1-1)。
所以y=1/(x+2) (x≠-2)。 所以F(x)=f(x)+g(x)=lg[(1-x)/(1+x)]+1/(x+2),其定义域为{x|-1<x<1}。 (2)易知f(x)=lg[(1-x)/(1+x)] (-1<x<1)是减函数,g(x)=1/(x+2) (-1<x<1)也是减函数,所以F(x)在(-1,1)上是减函数。
故不存在这样两个不同点A、B,使直线AB恰好与y轴垂直。
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