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圆的复杂解析问题

圆x^+y^=r^内有定点A(m,0),B,D分别为圆上的动点,AB垂直AD, 若四边形ABCD为矩形,求动点C的轨迹方程

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2007-10-18

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    圆x^+y^=r^内有定点A(m,0),B,D分别为圆上的动点,AB垂直AD, 若四边形ABCD为矩形,求动点C的轨迹方程 解,设B(x1,y1),D(x2,y2),C(x,y) K-AD *K-AB=-1 AC,BD中点重合 BC在圆上 ===> x1x2+y1y2=a(x1+x2)² -a²。
    。。。。。。。① (a+x)²=(x1+x2)² 。。。。。。。。。。。② y²=(y1+y2)² 。
  。。。。。。。。。③ x1²+y1²=r² 。  。。。。。。④ x2²+y2²=r² 。
  。。。。。。。。。。。⑤ x1+x2=a+x 。。。。。。。。。⑥ ①*2+④+⑤ ==>(x1+x2)²+(y1+y2)²=2r²+a(x1+x2)-a² 。
    。。。。。
  ⑦ ②,③,⑥代入⑦ ==>(a+x)²+y²=2r²+a(a+x)-a² ===>C的轨迹方程 (x+a/2)²+y²=2r²-(5/4)a² 。

2007-10-18

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    连接AC、BD交于点P,设 C(x, y),则 P((x+m)/2,y/2) 在直角三角形DAD中,|PA| = |BD|/2,所以 |PD| = |PA| 连接OP、OD 在直角三角形OPD中, |OP|^2 + |PD|^2 = |OD|^2 即 |OP|^2 + |PA|^2 = |OD|^2 其中 |OP|^2 和 |PA|^2 都用两点间的距离公式,|OD| 是半径 即 [(x+m)/2]^2 + (y/2)^2 + [(x+m)/2 - m]^2 + (y/2 - 0)^2] = r^2 整理得 x^2 + y^2 = 2r^2 - m^2 即为所求。
     。

2007-10-18

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    解:设D点坐标(rcosα,rsinα)。 B点坐标(rcosβ,rsinβ)。 则BD中点E坐标为[xe=r(cosα+cosβ)/2,ye=r(sinα+sinβ)/2] ∵ABCD是矩形 ∴AC的中点是E。
  C点坐标为[x=2xe-m,y=2ye]。   4xe^=r^(cosα^+2cosαcosβ+cosβ^) 4ye^=r^(sinα^+2sinαsinβ+sinβ^) 4xe^+4ye^=2r^+2r^(cosαcosβ+sinαsinβ) 向量AD=(rcosα-m,rsinα) 向量AB=(rcosβ-m,rsinβ) ∵向量AD⊥向量AB ∴(rcosα-m,rsinα)·(rcosβ-m,rsinβ) =r^×(cosαcosβ+sinαsinβ)-mr(cosα+cosβ)+m^=0 ∴ r^×(cosαcosβ+sinαsinβ)-2xe×m+m^=0 r^×(cosαcosβ+sinαsinβ)=2xe×m-m^ ∴ 4xe^+4ye^=2r^+2(2xe×m-m^) 2xe^+2ye^=r^+2xe×m-m^ 带入:xe=(x+m)/2 ye=y/2 整理一下就行了。
     。

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