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不等式比大小

设a+b>0,n为偶数,比较[b^(n-1)/a^n]+[a^(n-1)/b^n]与(1/a)+(1/b)的大小

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2007-10-06

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     [b^(n-1)/a^n]+[a^(n-1)/b^n] - [(1/a)+(1/b)] (下面大通分) = {[b^(2n-1) + a^(2n-1)] - (b+a)[a^(n-1)][b^(n-1)]}/[(a^n)(b^n)] 因为 分母大于0,所以只需光看分子:  b^(2n-1) + a^(2n-1) - (b+a)[a^(n-1)][b^(n-1)] = b^(2n-1) + a^(2n-1) - (b^n)[a^(n-1)] - (a^n)[b^(n-1)] = (b^n - a^n)*[b^(n-1) - a^(n-1)] 由于 a 与 b 在式子中的地位是平等的,且 a+b>0 若b>0,则 a 为正、0、负均有可能,但总有 b > |a| 显然有 b^n > a^n 且 b^(n-1) > a^(n-1) 所以 (b^n - a^n)*[b^(n-1) - a^(n-1)] > 0 故  b^(2n-1) + a^(2n-1) > (b+a)[a^(n-1)][b^(n-1)] 于是 b^(n-1)/a^n]+[a^(n-1)/b^n > (1/a)+(1/b) 若 b 0,且 a > |b|,则那两个“差”都为负,乘积仍然为正, 以下同上 所以总有 b^(n-1)/a^n]+[a^(n-1)/b^n > (1/a)+(1/b) 。
    。

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