相等棱长的四面体与球

一个四面体的所有棱长都为根号2,四个顶点在同一个球面上,球此球表面积(请详细解答)

一个四面体的所有棱长都为根号2,四个顶点在同一个球面上,球此球表面积(请详细解答) 如图 正四面体P-ABC的所有棱长为√2，求四个顶点均在球O上 那么，过点P作底面ABC的垂线，垂足为D，则PD过球心O 且点D为底面正△ABC的中心 连接AO 设球半径为R，则OA=OP=R 在正△ABC中，AD=(2/3)AE=(2/3)*(√3/2)AC=(√3/3)*√2=√6/3 那么，在Rt△PDA中由勾股定理得到：PD^2=PA^2-AD^2 =(√2)^2-(√6/3)^2=2-(2/3)=4/3 所以，PD=(2√3)/3 再在Rt△ODA中由勾股定理有：AO^2=OD^2+AD^2 ==...全部

  一个四面体的所有棱长都为根号2,四个顶点在同一个球面上,球此球表面积(请详细解答) 如图 正四面体P-ABC的所有棱长为√2，求四个顶点均在球O上 那么，过点P作底面ABC的垂线，垂足为D，则PD过球心O 且点D为底面正△ABC的中心 连接AO 设球半径为R，则OA=OP=R 在正△ABC中，AD=(2/3)AE=(2/3)*(√3/2)AC=(√3/3)*√2=√6/3 那么，在Rt△PDA中由勾股定理得到：PD^2=PA^2-AD^2 =(√2)^2-(√6/3)^2=2-(2/3)=4/3 所以，PD=(2√3)/3 再在Rt△ODA中由勾股定理有：AO^2=OD^2+AD^2 ===> R^2=(PD-PO)^2+AD^2 ===> R^2=[(2√3/3)-R]^2+(√6/3)^2 ===> R^2=(4/3)-(4√3/3)R+R^2+(2/3) ===> (4√3/3)R=2 ===> R=2*(3/4√3)=√3/2 所以，球O的表面积为S=4πR^2=4π*(√3/2)^2=3π。
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