高中数学题目
⑴
设C为x^2/a2+y^2/b2=1(a>b>0)，
由椭圆定义知，
|MF1|+|MF2|=2a，|NF1|+|NF2|=2a，
故(|MF|+|NF1|)+(|MF2|+|NF2|)=4a，
即4a=8→a=2。
又c=√3，于是b^2=1，
故C为x^2/4+y^2=1。
⑵
设m为y=kx+2(k≠0)，
且m、C交于点A(x1，y1)、B(x2，y2)，
以m代入C整理得，
(1+4k^2)x^2+16kx+12=0 ①
其判别式△=(16k)^2-4×12(1+4k^2)>0，
∴k>√3/2或k<-
√3/2 ②
∵以AB为直径的圆过原点，故OA⊥OB，
于是，x1x2+y1y2=0，
即x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=0
→(1+k^2)x1x2+2k(x1+x2)+4=0，
由①及韦达定理，得
[12(1+k^2)/(1+4k^2)]+[2k(-16k)/(1+4k^2)]+4=0
→k=±2
故m为：y=±2x+2。
⑶
假设C上存在两点E(x3，y3)、F(x4，y4)关于
y=2x+2对称，
且线段EF中点为H(x0，y0)，则
{x3+x4=2x0
{y3+y4=2y0
{x3^2+4y3^2=4
{x4^2+4y4^2=4
{x3≠x4
故易得，
(y3-y4)/(x1-x4)=-x0/(4y0)
又，[(y3-y4)/(x3-x4)]·(±2)=-1，
∴-x0/(4y0)=±1/2
→x0=±2y0 ③
而点H(x0，y0)在y=±2x+2上，
∴y0=±2x0+2 ④
由③、④解得，
x0=-4/3，y0=-2/3；或x0=4/3，y0=2/3。
∵x0^2/4+y0^2=16/9×1/4+4/9<1，
∴点H在C内，即C上存在两点E、F关于
y=±2x+2的对称，
此时，EF为：y=±(1/2)x-4/3，
。
[展开]
1。a=2 c=3^(1/2) b=1 方程为 x^2/2+y^2=1
2。
设m的方成为 Y=kX+2 代入椭圆方程中
4（kX+2）^2+X^2=4 即 (4k^2+1)X^2+16kx+12=0
设A（a，b），B（m，n）
根据韦达定理 a+m=-16k/(4k^2+1) a*m=12/(4k^2+1) (1)
AB为直径 所以角AOB=90 所以 Kao*Kbo=-1(Kao表示直线AO的斜率，后亦同)
Kao=b/a Kbo=n/m 则有ma+bn=0 分别以它们所在的直线代入，有
(k^2++1)ma+
2k(m+a)+4=0 (2)
由（1）（2）可解得 k=2或-2。
[展开]
(1)
△MF2N的周长=MN+MF2+NF2=(MF1+NF1)+MF2+NF2
=(MF1+MF2)+(NF1+NF2)
=2a+2a
=4a
所以，4a=8
则，a=2
已知，c=√3
所以，b^2=a^2-c^2=1
所以，椭圆方程为：x^2/4+y^2=1。
(2)
设过点P(0,2)的直线斜率为k，则：y=kx+2
联立直线与椭圆x^2+4y^2-4=0得到：
x^2+4(kx+2)^2-4=0
===> x^2+4k^2*x^2+16kx+12=0
===> (4k^2+1)x^2+16kx+12=0
===> x1+
x2=-16k/(4k^2+1)，x1x2=12/(4k^2+1)
所以，y1*y2=(kx1+2)*(kx2+2)=k^2*x1x2+2k(x1+x2)+4
=12k^2/(4k^2+1)-32k^2/(4k^2+1)+4
=(12k^2-32k^2+16k^2+4)/(4k^2+1)
=(-4k^2+4)/(4k^2+1)
已知以AB为直径的圆经过原点，则∠AOB=90°
即，AO⊥BO
所以，Kao*Kbo=-1
===> (y1/x1)*(y2/x2)=-1
===> y1y2=-x1x2
===> (-4k^2+4)/(4k^2+1)=-12/(4k^2+1)
===> -4k^2+4=-12
===> 4k^2=16
===> k=±2
所以，直线m的方程为：y=±2x+2。
（3）直线m的方程已经确定，还求什么方程呀？！。
[展开]