一道奥数题，谢谢，周期工程问题
甲乙丙的效率分别为1/13, 3/52, 1/26
3队合作要52/9天
今天时间不够了 明天再写思路吧
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下面继续我的思路了4。
21
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把甲、乙、丙每人做一天称为一轮。
一轮中，无论谁先谁后，完成的总工作量都相同。
可知每种顺序除了最后一轮，前面若干轮完成的工作量及用的天数都相同。由题意每种顺序完工的时间不一样，可知最后一轮不可能是为甲乙丙的轮换，否则3种顺序完工的时间一样。
故最后一轮只有两种可能。
即：
1）
甲乙丙 甲乙丙……甲乙丙 甲
乙丙甲 乙丙甲……乙丙甲 乙(1/2丙)
丙甲乙 丙甲乙……丙甲乙 丙(1/3甲)
或2）
甲乙丙 甲乙丙……甲乙丙 甲乙
乙丙甲 乙丙甲……乙丙甲 乙丙 (1/2甲)
丙甲乙 丙甲乙……丙甲乙 丙甲 (1/3乙)
由最后一轮工作量相同，得到：
1）甲=乙+1/2丙=丙+1/3甲
或
2）甲+乙=乙+丙+1/2甲 =丙+甲 +1/3乙
先讨论1)
有上面的等式可推得
丙=2/3甲 乙=2/3 甲
可得乙丙效率一样，与题意相左，故这种情形不成立
只有情形2）成立了，
下面我们按情形2)推证，
由 甲+乙=乙+丙+1/2甲，可推得
丙=1/2甲=1/2×1/13=1/26
由 乙+丙+1/2甲=丙+甲+1/3乙 ，可推得
乙=3/4甲= 1/4×1/13=3/52
所以， 1÷（1/13+1/26+3/52）=52/9（天）
(有兴趣可以验证一下，结论是否合题，)
。
[展开]
设乙独做x天完成，丙独做y天完成，轮做时做得最少的是z天。依题意
（z+1)/13+z(1/x+1/y)=1,(1)
(z+1)/x+(z+0。5)/y+z/13=1,(2)
(z+1)/y+(z+1/3)/13+z/x=1。
(3)
(2)-(1),1/x+0。 5/y-1/13=0,(4）
(3)-(1),1/y=2/39,
代入（4），1/x=2/39。(舍）
（z+1)（1/13+1/x）+z/y=1,(1’)
(z+1)（1/x+1/y）+（z+0。
5）/13=1,(2’)
(z+1)（1/y+1/13）+(z+1/3)/x=1。
(3')
(2')-(1'),1/y=1/26,
(3')-(1'),1/y-2/(3x)=0,
1/x=1/y*3/2=3/52,
1÷（1/13+3/52+1/26）
=1÷9/52
=52/9。
z(1/19+1/x+1/y)=1,(1")
(z+0。 5)/x+z(1/y+1/19)=1,(2")
(z+1/3)/y+z(1/19+1/x)=1。(3")
(2")-(1"),0。
5/x=0,无解。
答：这项工程由甲乙丙三个队合做要52/9天完工
。
[展开]
设想工程完成的模式：
1）甲乙丙甲乙丙。。。甲乙丙甲
2）乙丙甲乙丙甲。。。乙丙甲乙（丙/2）
3）丙甲乙丙甲乙。。。丙甲乙丙（甲/3）
可得：
甲=丙+（甲/3）
丙=2甲/3，
甲=乙+（丙/2）=乙+（甲/3）
乙=2甲/3
甲+乙+丙=7甲/3
那么这项工程由甲乙丙三个队合做要
1/[（1/13）*(7/3)]=39/7天完工
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以上答案因不符合条件[且3个工程队的效率各不相同，]
重新设定：
1）甲乙丙甲乙丙。
。。甲乙丙甲乙
2）乙丙甲乙丙甲。。。乙丙甲乙丙（甲/2）
3）丙甲乙丙
甲乙。。。
丙甲乙丙甲（乙/3）
可得：
甲=丙+（甲/2）
丙=甲/2
甲+乙/3=乙+（甲/2）
2乙/3=甲/2
乙=3甲/4
甲+乙+丙=9甲/4
那么这项工程由甲乙丙三个队合做要
1/[（1/13）*(9/4)]=52/9天完工
符合条件
[且3个工程队的效率各不相同，]
所以，答案为：52/9天
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******** 4/21日 补充 ***********
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检验另一个条件：[恰好整天完工]
3*52/9=52/3=17+1/3
前15天=15/3*9/52=45/52
16天（甲）=1/13
17天（乙）=3/52
45/52+1/13+3/52=1 OK!
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感觉：
此题对学生的分析能力的提高是有益的！。
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