一道奥数题，谢谢，周期工程问题
有一项工程，由三个工程队每天轮做。原计划按甲乙丙次序轮做，恰好整天完工；如果按乙丙甲次序轮做，比原计划多用0.5天；如果按丙甲乙次序轮做，比原计划多用1/3天。已知甲单独做13天完工，且3个工程队的效率各不相同，那么这项工程由甲乙丙三个队合做要多少天完工?
全部回答
甲乙丙的效率分别为1/13, 3/52, 1/26
3队合作要52/9天
今天时间不够了 明天再写思路吧
----------------------------------------
下面继续我的思路了4。
21 ----------------------------------------- 把甲、乙、丙每人做一天称为一轮。 一轮中，无论谁先谁后，完成的总工作量都相同。
可知每种顺序除了最后一轮，前面若干轮完成的工作量及用的天数都相同。由题意每种顺序完工的时间不一样，可知最后一轮不可能是为甲乙丙的轮换，否则3种顺序完工的时间一样。故最后一轮只有两种可能。
即： 1） 甲乙丙 甲乙丙……甲乙丙 甲 乙丙甲 乙丙甲……乙丙甲 乙(1/2丙) 丙甲乙 丙甲乙……丙甲乙 丙(1/3甲) 或2） 甲乙丙 甲乙丙……甲乙丙 甲乙 乙丙甲 乙丙甲……乙丙甲 乙丙 (1/2甲) 丙甲乙 丙甲乙……丙甲乙 丙甲 (1/3乙) 由最后一轮工作量相同，得到： 1）甲=乙+1/2丙=丙+1/3甲 或 2）甲+乙=乙+丙+1/2甲 =丙+甲 +1/3乙 先讨论1) 有上面的等式可推得 丙=2/3甲 乙=2/3 甲 可得乙丙效率一样，与题意相左，故这种情形不成立 只有情形2）成立了， 下面我们按情形2)推证， 由 甲+乙=乙+丙+1/2甲，可推得 丙=1/2甲=1/2×1/13=1/26 由 乙+丙+1/2甲=丙+甲+1/3乙 ，可推得 乙=3/4甲= 1/4×1/13=3/52 所以， 1÷（1/13+1/26+3/52）=52/9（天） (有兴趣可以验证一下，结论是否合题，) 。
21 ----------------------------------------- 把甲、乙、丙每人做一天称为一轮。 一轮中，无论谁先谁后，完成的总工作量都相同。
可知每种顺序除了最后一轮，前面若干轮完成的工作量及用的天数都相同。由题意每种顺序完工的时间不一样，可知最后一轮不可能是为甲乙丙的轮换，否则3种顺序完工的时间一样。故最后一轮只有两种可能。
即： 1） 甲乙丙 甲乙丙……甲乙丙 甲 乙丙甲 乙丙甲……乙丙甲 乙(1/2丙) 丙甲乙 丙甲乙……丙甲乙 丙(1/3甲) 或2） 甲乙丙 甲乙丙……甲乙丙 甲乙 乙丙甲 乙丙甲……乙丙甲 乙丙 (1/2甲) 丙甲乙 丙甲乙……丙甲乙 丙甲 (1/3乙) 由最后一轮工作量相同，得到： 1）甲=乙+1/2丙=丙+1/3甲 或 2）甲+乙=乙+丙+1/2甲 =丙+甲 +1/3乙 先讨论1) 有上面的等式可推得 丙=2/3甲 乙=2/3 甲 可得乙丙效率一样，与题意相左，故这种情形不成立 只有情形2）成立了， 下面我们按情形2)推证， 由 甲+乙=乙+丙+1/2甲，可推得 丙=1/2甲=1/2×1/13=1/26 由 乙+丙+1/2甲=丙+甲+1/3乙 ，可推得 乙=3/4甲= 1/4×1/13=3/52 所以， 1÷（1/13+1/26+3/52）=52/9（天） (有兴趣可以验证一下，结论是否合题，) 。
设乙独做x天完成，丙独做y天完成，轮做时做得最少的是z天。依题意
（z+1)/13+z(1/x+1/y)=1,(1)
(z+1)/x+(z+0。5)/y+z/13=1,(2)
(z+1)/y+(z+1/3)/13+z/x=1。
(3) (2)-(1),1/x+0。 5/y-1/13=0,(4） (3)-(1),1/y=2/39, 代入（4），1/x=2/39。(舍） （z+1)（1/13+1/x）+z/y=1,(1’) (z+1)（1/x+1/y）+（z+0。
5）/13=1,(2’) (z+1)（1/y+1/13）+(z+1/3)/x=1。 (3') (2')-(1'),1/y=1/26, (3')-(1'),1/y-2/(3x)=0, 1/x=1/y*3/2=3/52, 1÷（1/13+3/52+1/26） =1÷9/52 =52/9。
z(1/19+1/x+1/y)=1,(1") (z+0。 5)/x+z(1/y+1/19)=1,(2") (z+1/3)/y+z(1/19+1/x)=1。(3") (2")-(1"),0。
5/x=0,无解。 答：这项工程由甲乙丙三个队合做要52/9天完工 。
(3) (2)-(1),1/x+0。 5/y-1/13=0,(4） (3)-(1),1/y=2/39, 代入（4），1/x=2/39。(舍） （z+1)（1/13+1/x）+z/y=1,(1’) (z+1)（1/x+1/y）+（z+0。
5）/13=1,(2’) (z+1)（1/y+1/13）+(z+1/3)/x=1。 (3') (2')-(1'),1/y=1/26, (3')-(1'),1/y-2/(3x)=0, 1/x=1/y*3/2=3/52, 1÷（1/13+3/52+1/26） =1÷9/52 =52/9。
z(1/19+1/x+1/y)=1,(1") (z+0。 5)/x+z(1/y+1/19)=1,(2") (z+1/3)/y+z(1/19+1/x)=1。(3") (2")-(1"),0。
5/x=0,无解。 答：这项工程由甲乙丙三个队合做要52/9天完工 。
设想工程完成的模式：
1）甲乙丙甲乙丙。。。甲乙丙甲
2）乙丙甲乙丙甲。。。乙丙甲乙（丙/2）
3）丙甲乙丙甲乙。。。丙甲乙丙（甲/3）
可得：
甲=丙+（甲/3）
丙=2甲/3，
甲=乙+（丙/2）=乙+（甲/3）
乙=2甲/3
甲+乙+丙=7甲/3
那么这项工程由甲乙丙三个队合做要
1/[（1/13）*(7/3)]=39/7天完工
------------------------------
以上答案因不符合条件[且3个工程队的效率各不相同，]
重新设定：
1）甲乙丙甲乙丙。
。。甲乙丙甲乙 2）乙丙甲乙丙甲。。。乙丙甲乙丙（甲/2） 3）丙甲乙丙甲乙。。。
丙甲乙丙甲（乙/3） 可得： 甲=丙+（甲/2） 丙=甲/2 甲+乙/3=乙+（甲/2） 2乙/3=甲/2 乙=3甲/4 甲+乙+丙=9甲/4 那么这项工程由甲乙丙三个队合做要 1/[（1/13）*(9/4)]=52/9天完工 符合条件 [且3个工程队的效率各不相同，] 所以，答案为：52/9天 ---------------------------------------------- ******** 4/21日 补充 *********** ---------------------------------------------- 检验另一个条件：[恰好整天完工] 3*52/9=52/3=17+1/3 前15天=15/3*9/52=45/52 16天（甲）=1/13 17天（乙）=3/52 45/52+1/13+3/52=1 OK! ----------------------------- 感觉： 此题对学生的分析能力的提高是有益的！。
。。甲乙丙甲乙 2）乙丙甲乙丙甲。。。乙丙甲乙丙（甲/2） 3）丙甲乙丙甲乙。。。
丙甲乙丙甲（乙/3） 可得： 甲=丙+（甲/2） 丙=甲/2 甲+乙/3=乙+（甲/2） 2乙/3=甲/2 乙=3甲/4 甲+乙+丙=9甲/4 那么这项工程由甲乙丙三个队合做要 1/[（1/13）*(9/4)]=52/9天完工 符合条件 [且3个工程队的效率各不相同，] 所以，答案为：52/9天 ---------------------------------------------- ******** 4/21日 补充 *********** ---------------------------------------------- 检验另一个条件：[恰好整天完工] 3*52/9=52/3=17+1/3 前15天=15/3*9/52=45/52 16天（甲）=1/13 17天（乙）=3/52 45/52+1/13+3/52=1 OK! ----------------------------- 感觉： 此题对学生的分析能力的提高是有益的！。
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