数学中的因式分解中的拆与添项法。。。
因式分解是多项式乘法的逆运算。在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零。在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项。 拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解。 例4 分解因式:x3-9x 8。 分析:本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧。 解法1 将常数项8拆成-1 9。 原式=x3-9x-1 9 =(x3-1)-9x 9 =(x-1)(x2 x 1)...全部
因式分解是多项式乘法的逆运算。在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零。在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项。
拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解。 例4 分解因式:x3-9x 8。 分析:本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧。 解法1 将常数项8拆成-1 9。
原式=x3-9x-1 9 =(x3-1)-9x 9 =(x-1)(x2 x 1)-9(x-1) =(x-1)(x2 x-8)。 解法2 将一次项-9x拆成-x-8x。 原式=x3-x-8x 8 =(x3-x) (-8x 8) =x(x 1)(x-1)-8(x-1) =(x-1)(x2 x-8)。
解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3。 原式=9x3-8x3-9x 8 =(9x3-9x) (-8x3 8) =9x(x 1)(x-1)-8(x-1)(x2 x 1) =(x-1)(x2 x-8)。
解法4 添加两项-x2 x2。 原式=x3-9x 8 =x3-x2 x2-9x 8 =x2(x-1) (x-8)(x-1) =(x-1)(x2 x-8)。 说明 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种。
例5 分解因式: (1)x9 x6 x3-3; (2)(m2-1)(n2-1) 4mn; (3)(x 1)4 (x2-1)2 (x-1)4; (4)a3b-ab3 a2 b2 1。 解 (1)将-3拆成-1-1-1。
原式=x9 x6 x3-1-1-1 =(x9-1) (x6-1) (x3-1) =(x3-1)(x6 x3 1) (x3-1)(x3 1) (x3-1) =(x3-1)(x6 2x3 3) =(x-1)(x2 x 1)(x6 2x3 3)。
(2)将4mn拆成2mn 2mn。 原式=(m2-1)(n2-1) 2mn 2mn =m2n2-m2-n2 1 2mn 2mn =(m2n2 2mn 1)-(m2-2mn n2) =(mn 1)2-(m-n)2 =(mn m-n 1)(mn-m n 1)。
(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2。 原式=(x 1)4 2(x2-1)2-(x2-1)2 (x-1)4 =〔(x 1)4 2(x 1)2(x-1)2 (x-1)4]-(x2-1)2 =〔(x 1)2 (x-1)2]2-(x2-1)2 =(2x2 2)2-(x2-1)2=(3x2 1)(x2 3)。
(4)添加两项 ab-ab。 原式=a3b-ab3 a2 b2 1 ab-ab =(a3b-ab3) (a2-ab) (ab b2 1) =ab(a b)(a-b) a(a-b) (ab b2 1) =a(a-b)〔b(a b) 1] (ab b2 1) =[a(a-b) 1](ab b2 1) =(a2-ab 1)(b2 ab 1)。
说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加 ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式。
这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验x^4 4y^4 =x^4 4y^4 4x^2y^2-4x^2y^2 =(x^2 2y^2)^2-4x^2y^2 =(x^2 2y^2-2xy)(x^2 2y^2 2xy) 用添项法!6、拆、添项法 例6、分解因式bc(b c) ca(c-a)-ab(a b) 解:bc(b c) ca(c-a)-ab(a b)=bc(c-a a b) ca(c-a)-ab(a b) =bc(c-a) ca(c-a) bc(a b)-ab(a b) =c(c-a)(b a) b(a b)(c-a) =(c b)(c-a)(a b)。收起
