经过抛物线y^2=4x的焦点弦的中点轨迹方程是
解:焦点坐标(1,0),设焦点弦所在直线斜率为k,则方程为
y-0=k(x-1),即y=k(x-1)
设直线与抛物线交于A,B两点,A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点(x,y)
依题意得
y1²=4x1,y2²=4x2
两式相减,得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2)
即[(y1+y2)/2][(y1-y2)/(x1-x2)]=2
亦即yk=2x,得k=2x/y,弦中点在直线y=k(x-1)上,故
y=(2x/y)(x-1),整理得y²=2x²-2x,即
4(x-0。
5)²-2y²=1
弦中点应在抛物线内,故联立y²=4x,y²=2x²-2x,解得
x=3,x=0(对应原点,舍去),得y=±2√3
故所求轨迹方程是4(x-0。
5)²-2y²=1(1≤x<3)。 。
解:设经过抛物线焦点的直线与抛物线交于A,B两点,A(x1,y1),B(x2,y2),根据题意得:y1^2=4x1,----1 y2^2=4x2,----2 1-2得:(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2) 因为抛物线的焦点在x轴上,由此可知经过抛物线焦点弦的斜率,继而求出轨迹方程。