证明题证明:coscoscoscosx>sinsinsinsinx。
证明:
由周期性如,
只需证明x∈[0,2π]不等式成立即可。
⑴
若x∈[π,2π],则左边>0,右边≤0,
不等式显然成立。
⑵
若x∈[0,π/2],
∵sinx+cosx
=√2sin(x+π/4)≤√2cos(π/2-sinx)=sinsinx。
将x替换成coscosx,
使得coscoscoscosx>sinsincoscosx,
而正弦函数y=sinx在[0,π/2]递增,
即sinsincoscosx>sinsinsinsinsinx,
故coscoscoscosx>sinsinsinsinx成立。
⑶
若x∈(π/2,π),令y=x-π/2,
则由⑵中所证,得
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证明:
由周期性如,
只需证明x∈[0,2π]不等式成立即可。
⑴
若x∈[π,2π],则左边>0,右边≤0,
不等式显然成立。
⑵
若x∈[0,π/2],
∵sinx+cosx
=√2sin(x+π/4)≤√2cos(π/2-sinx)=sinsinx。
将x替换成coscosx,
使得coscoscoscosx>sinsincoscosx,
而正弦函数y=sinx在[0,π/2]递增,
即sinsincoscosx>sinsinsinsinsinx,
故coscoscoscosx>sinsinsinsinx成立。
⑶
若x∈(π/2,π),令y=x-π/2,
则由⑵中所证,得
coscos(cossiny)>sinsin(cossiny)>sinsin(sincosy)
即coscoscoscosx>sinsinsinsinx。
综上知,coscoscoscosx>sinsinsinsinx恒成立,
故命题得证。收起