圆的问题三角形的内接圆和外接圆的半径为多少?
设三边为3.4.5
这类题该怎么算？
内接圆半径为1
外接圆半径为2。5
一、求三角形的外接圆的半径
1、直角三角形
如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边。
例1已知：在△ABC中，AB＝13，BC＝12，AC＝5
求△ABC的外接圆的半径。
解：∵AB＝13，BC＝12，AC＝5，
∴AB2＝BC2＋AC2，
∴∠C＝90°，
∴AB为△ABC的外接圆的直径，
∴△ABC的外接圆的半径为6。5。
2、一般三角形
①已知一角和它的对边
例2如图，在△ABC 中，AB＝10，∠C＝100°，
求△ABC外接圆⊙O的半径。 （用三角函数表示）
分析：利用直径构造含已知边AB的直角三角形。
解：作直...全部
内接圆半径为1
外接圆半径为2。5
一、求三角形的外接圆的半径
1、直角三角形
如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边。
例1已知：在△ABC中，AB＝13，BC＝12，AC＝5
求△ABC的外接圆的半径。
解：∵AB＝13，BC＝12，AC＝5，
∴AB2＝BC2＋AC2，
∴∠C＝90°，
∴AB为△ABC的外接圆的直径，
∴△ABC的外接圆的半径为6。5。
2、一般三角形
①已知一角和它的对边
例2如图，在△ABC 中，AB＝10，∠C＝100°，
求△ABC外接圆⊙O的半径。
（用三角函数表示）
分析：利用直径构造含已知边AB的直角三角形。
解：作直径BD，连结AD。
则∠D＝180°－∠C＝80°，∠BAD＝90°
∴BD＝ ＝
∴△ABC外接圆⊙O的半径为 。
注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都可以利用本题的方法求出三角形的外接圆的半径。
例3如图，已知，在△ABC 中，AB＝10，∠A＝70°，∠B＝50°
求△ABC外接圆⊙O的半径。
分析：可转化为①的情形解题。
解：作直径AD，连结BD。
则∠D＝∠C＝180°－∠CAB－∠BAC＝60°，∠DBA＝90°
∴AD＝ ＝ ＝
∴△ABC外接圆⊙O的半径为 。
②已知两边夹一角
例4如图，已知，在△ABC 中，AC＝2，BC＝3，∠C＝60°
求△ABC外接圆⊙O的半径。
分析：考虑求出AB，然后转化为①的情形解题。
解：作直径AD，连结BD。
作AE⊥BC，垂足为E。
则∠DBA＝90°，∠D＝∠C＝60°，CE＝ AC＝1，AE＝ ，
BE＝BC－CE＝2，AB＝ ＝
∴AD＝ ＝ ＝
∴△ABC外接圆⊙O的半径为 。
③已知三边
例5如图，已知，在△ABC 中，AC＝13，BC＝14，AB＝15
求△ABC外接圆⊙O的半径。
分析：作出直径AD，构造Rt△ABD。只要求出△ABC中BC边上的高AE，利用相似三角形就可以求出直径AD。
解：作直径AD，连结BD。作AE⊥BC，垂足为E。
则∠DBA＝∠CEA＝90°，∠D＝∠C
∴△ADB∽△ACE ∴
设CE＝x, ∵AC2-CE2＝AE2＝AB2-BE2 ∴132-x2＝152-(14-x)2 x=5,即CE＝5
∴AE＝12 ∴ AD＝ ∴△ABC外接圆⊙O的半径为 。
二、求三角形的内切圆的半径
1、直角三角形
例6已知：在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c
求△ABC外接圆⊙O的半径。
解：可证四边形ODCE为正方形。设⊙O的半径为r，
则CD=CE=r,BD=a-r,AE=b-r， ∴(a-r)+(b-r)=c,
∴r= ,即△ABC外接圆⊙O的半径为 。
2、一般三角形
①已知三边
例7已知：如图，在△ABC 中，AC＝13，BC＝14，AB＝15
求△ABC内切圆⊙O的半径r。
分析：考虑先求出△ABC的面积，再利用“面积桥”，从而求出内切圆的半径。
解：利用例5的方法，或利用海伦公式S△＝ (其中s= )可求出S△ABC＝84，从而 AB•r+ BC•r+ AC•r=84, ∴r=4
②已知两边夹一角
例8已知：如图，在△ABC 中，cotB＝ ,AB＝5，BC＝6
求△ABC内切圆⊙O的半径r。
分析：考虑先通过解三角形，求出△ABC的面积及AC的长，再利用“面积桥”，从而求出内切圆的半径。
解：作△ABC的高AD。解直角三角形可得AD＝3，CD＝2，AC＝ ，
因为 AB•r+ BC•r+ AC•r= BC•AD, 可求得r=
③已知两角夹一边
例9已知：如图，在△ABC 中，∠B＝60°，∠C＝45°,BC＝6
求△ABC内切圆⊙O的半径r。
(精确到0。1)
分析：思路方法同上，读者可完成。
总之，只要通过边、角能确定三角形，就可以借鉴上面的方法求出这个三角形的外接圆和内切圆的半径。
。收起
