求证对空间任意四个向量α β γ δ有(β
根据解系几何的知识可以知道，空间任意三个不共面的向量都可以作为空间的一组基，因此对于空间任意四个向量α， β， γ ，δ，必有一个向量可以表示成另外三个向量的线性组合，不妨设δ可表示成α， β， γ的线性组合，并记δ=kα+mβ+nγ ,注意到(α,β,γ)表示α， β， γ的混合积，用坐标表示就是它们的坐标按列排成的3级行列式，根据混合积（或行列式）的性质，可得
(β,γ,δ)α-(α,γ,δ)β+(α,β,δ)γ-(α,β,γ)δ
=k(β,γ,α)α-m(α,γ,β)β+n(α,β,γ)γ-(α,β,γ)δ
=k(α,β,γ)α+m(α,β,γ)β+n(α,β,γ)γ-(α,β,γ)...全部
根据解系几何的知识可以知道，空间任意三个不共面的向量都可以作为空间的一组基，因此对于空间任意四个向量α， β， γ ，δ，必有一个向量可以表示成另外三个向量的线性组合，不妨设δ可表示成α， β， γ的线性组合，并记δ=kα+mβ+nγ ,注意到(α,β,γ)表示α， β， γ的混合积，用坐标表示就是它们的坐标按列排成的3级行列式，根据混合积（或行列式）的性质，可得
(β,γ,δ)α-(α,γ,δ)β+(α,β,δ)γ-(α,β,γ)δ
=k(β,γ,α)α-m(α,γ,β)β+n(α,β,γ)γ-(α,β,γ)δ
=k(α,β,γ)α+m(α,β,γ)β+n(α,β,γ)γ-(α,β,γ)δ
=（kα+mβ+nγ-δ)(α,β,γ)
=0
故结论成立。
方法二：也可以用二重外积公式来证。
(β,γ,δ)α-(α,γ,δ)β=(γ,δ,β)α-(γ,δ,α)β
=[(γ×δ)。β]α-[(γ×δ)。
α)]β
=(γ×δ)×(α×β)
(α,β,δ)γ-(α,β,γ)δ=[(α×β)。δ]γ-[(α×β)。
γ]δ
=(α×β)×(γ×δ)
注意到(γ×δ)×(α×β） = - （α×β)×(γ×δ)，
因此(β,γ,δ)α-(α,γ,δ)β+(α,β,δ)γ-(α,β,γ)δ=0
。收起
