如图，中心为原点的双曲线的一条渐近线为y=x，双曲线方程焦点在x轴上，焦距为2根号2，（1）过点P(2,0)的直线L交双曲线于M,N,Q(b,0)若对于任意直线L，向量积向量QM*向量QN是定值，求b值
如图所示：
(1) ∵ 渐进线为y=±x, ∴ 是等轴双曲线x²-y²=a², 离心率e=√2。
又2c=2√2, ∴ c²=2a², a=1, 方程为x²-y²=1。
(2) 设MN的方程为x=my+2,代入x²-y²=1,得(m²-1)y²+4my+3=0,设
M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=-4m/(m²-1),y1y2=3/(m²-1)。
向量QM•QN=x1x2-b(x1+x2)+b²+y1y2=(m²+1...全部
(1) ∵ 渐进线为y=±x, ∴ 是等轴双曲线x²-y²=a², 离心率e=√2。
又2c=2√2, ∴ c²=2a², a=1, 方程为x²-y²=1。
(2) 设MN的方程为x=my+2,代入x²-y²=1,得(m²-1)y²+4my+3=0,设
M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=-4m/(m²-1),y1y2=3/(m²-1)。
向量QM•QN=x1x2-b(x1+x2)+b²+y1y2=(m²+1)y1y2+m(2-b)(y1+y2)+4-4b+b²为定值,可得(b²-1)m²-(b²-4b+1)/(m²-1)=C(定值,常数)。
。。。。。(*)
∴ (b²-1-C)m²-(b²-4b+1-C)=0而与m的取值无关,
∴ b²-1-C=b²-4b+1-C=0, ∴ C=-3/4,b=1/2。
(3) |QM|²+|QN|²-|MN|²=(x1-1)²+(y1)²+(x2-1)²+(y2)²-(x1-x2)²-(y1-y2)²=2m(y1+y2)=8m²/(1-m²)
由(2)知C=-3/4,b=1/2,代入(*)式,得m²=2,
∴ |QM|²+|QN|²-|MN|²=8m²/(1-m²)=-16。
。收起
