不等式证明问题请问在不等式的证明
移花接木！
一个不等式的七种证明
证明不等式就是证明所给不等式在给定条件下恒成立。由于不等式的形式是多种多样的,因此,不等式的证明方法也可谓是千姿百态。针对不等式证明,要具体问题具体分析,灵活选用证明方法,提高代数变形,推理论证能力,一题多解,有助于我们对辩证唯物主义观点有进一步的认识。
题目：已知a,b,c,d∈R,求证:ac+bd≤
分析一:用分析法
证法一:(1)当ac+bd≤0时,显然成立。
(2)当ac+bd>0时,欲证原不等式成立,
只需证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)
即证a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2
即证2abc...全部
移花接木！
一个不等式的七种证明
证明不等式就是证明所给不等式在给定条件下恒成立。由于不等式的形式是多种多样的,因此,不等式的证明方法也可谓是千姿百态。针对不等式证明,要具体问题具体分析,灵活选用证明方法,提高代数变形,推理论证能力,一题多解,有助于我们对辩证唯物主义观点有进一步的认识。
题目：已知a,b,c,d∈R,求证:ac+bd≤
分析一:用分析法
证法一:(1)当ac+bd≤0时,显然成立。
(2)当ac+bd>0时,欲证原不等式成立,
只需证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)
即证a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2
即证2abcd≤b2c2+a2d2
即证0≤(bc-ad)2
因为a,b,c,d∈R,所以上式恒成立,
综合(1)、(2)可知:原不等式成立。
分析二:用综合法
证法二:
(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2
=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2)
=(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)2
∴ ≥|ac+bd|≥ac+bd。
故命题得证。
分析三:用比较法
证法三:∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)2≥0,
∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
∴ ≥|ac+bd|≥ac+bd,
即ac+bd≤ 。
分析四:用放缩法
证法四:为了避免讨论,由ac+bd≤|ac+bd|,
可以试证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)。
由证法1可知上式成立,从而有了证法四。
分析五:用三角代换法
证法五:不妨设 (r1,r2均为变量)。
则ac+bd=r1r2cosαcosβ+r1r2sinαsinβ=r1r2cos（α-β）
又|r1r2|=|r1|•|r2|=
及r1rcos（α-β）≤|r1r2|
所以ac+bd≤ 。
分析六:用换元法
证法六:(1)当(a2+b2)(c2+d2)=0时,原不等式显然成立。
(2)当(a2+b2)(c2+d2)≠0时,欲证原不等式成立,
只需证| |≤1。
即证| |≤1,
注意到( )2+( )2=1与
( )2+( )2=1和cos2x+sin2x=1的结构特征很类同,不妨设 =cosα, =cosβ,
则 =sinα, =sinβ,
故| |
=|cosαcosβ+sinαsinβ|
=|cos（α-β）|≤1
所以ac+bd≤ 。
分析七:用构造函数法(判别式法)
证法七:待证不等式的结构特征与一元二次方程的判别式
Δ =b2-4ac≤0的结构特征很类似,由此不妨构造函数,
f(x)=(a2+b2)x2+2(ac+bd)x+(c2+d2)
=(a2x2+2acx+c2)+(b2x2+2bdx+d2)
=(ax+c)2+(bx+d)2
显然不论x取任何实数,函数f(x)的值均为非负数,因此,(1)当a2+b2≠0时,方程f(x)=0的判别式Δ≤0,
即［2(ac+bd)］2-4(a2+b2)(c2+d2)≤0,
即(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)
故ac+bd≤|ac+bd|≤
(2)当a2+b2=0时,原不等式显然成立。
。收起
