设正项级数∞n=1an收敛,证明级数∞n=1nanan 1…a2n?1收敛
利用几何算术平均值不等式可得,nanan 1…a2n?1=n1n(n 1)…(2n?1)?nnan(n 1)an 1…(2n?1)a2n?1≤1nn(n 1)…(2n?1)?nan (n 1)an 1 … (2n?1)a2n?1n≤1n?nan (n 1)an 1 … (2n?1)a2n?1n≤2n(2n?1)n2?a1 2a2 … (2n?1)a2n?12n(2n?1)≤4a1 2a2 … (2n?1)a2n?12n(2n?1).令bn=a1 2a2 … nan,由于∞n=1an收敛,故有∞n=1bnn(n 1)收敛,从而∞n=1b2n?1(2n?1)(2n)收敛,故∞n=1nanan ...全部
利用几何算术平均值不等式可得,nanan 1…a2n?1=n1n(n 1)…(2n?1)?nnan(n 1)an 1…(2n?1)a2n?1≤1nn(n 1)…(2n?1)?nan (n 1)an 1 … (2n?1)a2n?1n≤1n?nan (n 1)an 1 … (2n?1)a2n?1n≤2n(2n?1)n2?a1 2a2 … (2n?1)a2n?12n(2n?1)≤4a1 2a2 … (2n?1)a2n?12n(2n?1).令bn=a1 2a2 … nan,由于∞n=1an收敛,故有∞n=1bnn(n 1)收敛,从而∞n=1b2n?1(2n?1)(2n)收敛,故∞n=1nanan 1…a2n?1收敛.。
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