已知x、y、z∈R，且x+y+z=xy+yz+zx，
令x=1，y=z=-1，则
x/(x^2+1)+y/(y^2+1)+z/(z^2+1)=-1/2。
猜想最小值为:-1/2。
只需证:x/(x^2+1)+y/(y^2+1)+z/(z^2+1)≥-1/2
↔(x+1)^2/(x^2+1)+(y+1)^2/(y^2+1)≥(z-1)^2/(z^2+1)……①
注意到z(x+y-1)=x+y-xy(条件式变形)，
若x+y-1=0，则x+y=xy=1，矛盾。
故x+y-1≠0，于是，z=(x+y-xy)/(x+y-1)。
代回①得，
(x+1)^2/(x^2+1)+(y+1)^2/(y^2+1)≥(xy-1)^2/[(x+y-1...全部
令x=1，y=z=-1，则
x/(x^2+1)+y/(y^2+1)+z/(z^2+1)=-1/2。
猜想最小值为:-1/2。
只需证:x/(x^2+1)+y/(y^2+1)+z/(z^2+1)≥-1/2
↔(x+1)^2/(x^2+1)+(y+1)^2/(y^2+1)≥(z-1)^2/(z^2+1)……①
注意到z(x+y-1)=x+y-xy(条件式变形)，
若x+y-1=0，则x+y=xy=1，矛盾。
故x+y-1≠0，于是，z=(x+y-xy)/(x+y-1)。
代回①得，
(x+1)^2/(x^2+1)+(y+1)^2/(y^2+1)≥(xy-1)^2/[(x+y-1)^2+(x+y-xy)^2]……②
依Cauchy不等式知，
②左边≥[(1+x)(1-y)+(1+y)(1-x)]^2/[(1+x^2)(1-y)^2+(1+y^2)(1-x)^2]
↔f(x)=(y^2-3y+3)x^2-(3y^2-8y+3)x+(3y^2-3y+1)≥0。
因△=(3y^2-8y+3)^2-4(y^2-3y+3)(3y^2-3y+1)
=-3(y^2-1)^2
≤0，
故f(x)≥0恒成立，即猜想成立，
∴x/(x^2+1)+y/(y^2+1)+z/(z^2+1)≥-1/2。
柳树方法很愚，期待欣赏到高手简洁优美的方法。收起
