一道数学难题小华玩一种游戏，每局
由于103到110相继八个自然数都是可得分数,所以不小于103的任何自然数都是可得分数。
由于103是奇数,所以a必为奇数,或(a,8)=1((a,8)表示a与8的最大公约数)。
i)确定a的下界。 考察八个数:
0,a,2a,3a,4a,5a,6a,7a,(*)
是说,(*)中的八个数除8后,有8个不同的余数:0,1,2,3,4,5,6,7。
对于任何一个大于7a的自然数N,N除以8后的余数,必为0,1,2,7),使得N-na=8的倍数=8m>0,
因此 N=na+8m
而N是可得分数,7a当然是可得分数,所以83必小于7a,即830
这就是说8|(7-q)a,而(8,a)=1,所以8...全部
由于103到110相继八个自然数都是可得分数,所以不小于103的任何自然数都是可得分数。
由于103是奇数,所以a必为奇数,或(a,8)=1((a,8)表示a与8的最大公约数)。
i)确定a的下界。
考察八个数:
0,a,2a,3a,4a,5a,6a,7a,(*)
是说,(*)中的八个数除8后,有8个不同的余数:0,1,2,3,4,5,6,7。
对于任何一个大于7a的自然数N,N除以8后的余数,必为0,1,2,7),使得N-na=8的倍数=8m>0,
因此 N=na+8m
而N是可得分数,7a当然是可得分数,所以83必小于7a,即830
这就是说8|(7-q)a,而(8,a)=1,所以8|(7-q)而7>7-q>0因此,这是不可能的,我们得到7a-8是不可得分数。
由于不小于103的自然数都是可得分数,所以,7a-80
7>7-q>0
这表明8|(7-q)a,而(8,a)=1,所以8|(7-p)
都不能是问题的解。
[分析与讨论]这一题主要是检查同学们整除性的理解程度及培养同学们的严密逻辑思维方法,有的同学从1开始逐个奇数试算得到13,但这并不能说明只有13这一个解,因为并没有说明大于13的奇数一定不是问题的解。
在数学问题中,有许多问题是暂时不可能精确地确定某个量的大小的;或不需要知道它的精确大小,而能够知道它的上,下界就足够了,学会从已知条件出发,给出某个量的界的分析方法对于求解许多数学问题都是十分重要的。
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