高中数学，高手进f（x）=aIn
f（x）=aInx-ax-3(a属于R)
(1)求f(x)的单调区间
f(x)=alnx-ax-3（a∈R）的定义域为x＞0
则，f'(x)=a*(1/x)-a=(1/x)*(a-ax)=(1/x)*[a*(1-x)]
那么：
①当a=0时，f(x)=-3，为一条与x轴平行的直线，那么在x＞0时不增不减。
②当a＞0时：
若0＜x＜1，则f'(x)=(1/x)*[a*(1-x)]＞0，函数f(x)单调递增；
若x＞1，则f'(x)＜0，函数f(x)单调递减。
③当a＜0时：
若0＜x＜1，则f'(x)＜0，函数f(x)单调递减；
若x＞1，则f'(x)＞0，函数f(x)单调递增。
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f（x）=aInx-ax-3(a属于R)
(1)求f(x)的单调区间
f(x)=alnx-ax-3（a∈R）的定义域为x＞0
则，f'(x)=a*(1/x)-a=(1/x)*(a-ax)=(1/x)*[a*(1-x)]
那么：
①当a=0时，f(x)=-3，为一条与x轴平行的直线，那么在x＞0时不增不减。
②当a＞0时：
若0＜x＜1，则f'(x)=(1/x)*[a*(1-x)]＞0，函数f(x)单调递增；
若x＞1，则f'(x)＜0，函数f(x)单调递减。
③当a＜0时：
若0＜x＜1，则f'(x)＜0，函数f(x)单调递减；
若x＞1，则f'(x)＞0，函数f(x)单调递增。
(2)若y=(x)的图像在点（2,f(x))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t属于[1,2]，函数g(x)=x^3+x^2[m/2+f′(x)]在区间（t,3)上总存在极值，求m的取值范围
由前面知，f'(x)=a*(1/x)-a
已知它在点(2,f(2))处切线的斜率为45°，即：f'(2)=tan45°=1
所以：a*(1/2)-a=1
所以，a=-2
那么，f'(x)=(-2)*(1/x)+2
所以：g(x)=x^3+x^2[m/2+(-2/x)+2]
=x^3+(m/2)x^2-2x+2x^2
=x^3+[(m+4)/2]x^2-2x
则，g'(x)=3x^2+(m+4)x-2
已知当t∈[1,2]时，g(x)在(t,3)上总存在极值，即说明在(t,3)上，g'(x)=3x^2+(m+4)x-2=0有实数根
因为g'(x)表示的是开口向上，与y轴交点为(0,-2)的抛物线
所以：
g'(t)*g'(3)＜0
===> g'(t)*[25+3(m+4)]
那么：
(i)当g'(t)＞0，且25+3(m+4)＜0时：
因为t∈[1,2]
所以：
g'(1)＞0，且25+3(m+4)＜0
===> 3+(m+4)-2＞0，且m+4＜-25/3
===> m＞-5，且m＜-37/3
没有交集，舍去。
(ii)当g'(t)＜0，且25+3(m+4)＞0时：
因为t∈[1,2]
所以，g'(2)＜0，且25+3(m+4)＞0
===> 12+2(m+4)-2＜0，且m＞-37/3
===> 12+8-2+2m＜0，且m＞-37/3
===> -37/3＜m＜-9
综上“-37/3＜m＜-9
(3)当a=2时，设函数h（x)=(p-2)x - (p+2e)/x - 3,若在区间[1，e]上至少存在一个x0，使得h（x0）＞f(x0)成立，试求实数p的取值范围。
当a=2时，f(x)=2lnx-2x-3
由(1)知，当a＞1＞0时，x∈[1,e]时，函数f(x)单调递减
所以，f(x)=2lnx-2x-3在[1,e]是上有最大值f(1)=-5
已知h(x)=(p-2)x+(p+2e)/x-3
则，h'(x)=(p-2)-(p+2e)/x^2=[(p-2)x^2-(p+2e)]/x^2
。
收起
