高中数学题求助,急~设函数f(x
解(1):先求函数f(x)=x2+bln(x+1)的定义域,
由x+1＞0得x＞-1,即x∈(-1,+∞)
又 f'(x)=2x+b/(x+1)
=(2x2+2x+b)/(x+1)
=[(x+1/2)2+b-1/2]/(x+1)
∵ b＞1/2 , x∈(-1,+∞)
∴ f'(x)＞0
函数f(x)在定义域上单调递增。
(2):令f'(x)=(2x2+2x+b)/(x+1)
=0
即 2x2+2x+b=0
得 x=(-2±√22-4×2b)/2×2
= (-1±√1-2b)/2
可知当 b＞1/2时x无实数解,此时函数f(x)无极值点;
而当 b=1/2时
f'(x)=...全部
解(1):先求函数f(x)=x2+bln(x+1)的定义域,
由x+1＞0得x＞-1,即x∈(-1,+∞)
又 f'(x)=2x+b/(x+1)
=(2x2+2x+b)/(x+1)
=[(x+1/2)2+b-1/2]/(x+1)
∵ b＞1/2 , x∈(-1,+∞)
∴ f'(x)＞0
函数f(x)在定义域上单调递增。
(2):令f'(x)=(2x2+2x+b)/(x+1)
=0
即 2x2+2x+b=0
得 x=(-2±√22-4×2b)/2×2
= (-1±√1-2b)/2
可知当 b＞1/2时x无实数解,此时函数f(x)无极值点;
而当 b=1/2时
f'(x)=2x2+2x+1/2
=2(x+1/2)2≥0 符号无变化
可知函数f(x)在b=1/2时无极值点;
当 b＜1/2时
x1=(-1-√1-2b)/2 ?
x2=(-1+√1-2b)/2＞-1
须进一步讨论b的取值范围
A。
b＜0时
x1=(-1-√1-2b)/2
＜(-1-1)/2
＜-1 不在定义域范围,故只有一个解x2。
当x∈(-1,x2)时
∵ x1＜-1
-x1＞1
x＞-1
x-x1＞0
x-x2＜0
x+1＞0
∴ f'(x)=(x-x1)(x-x2)/(x+1)＜0
当x∈(x2,+∞)时
则明显f'(x)=(x-x1)(x-x2)/(x+1)＞0
可知当b＜0时,x2=(-1+√1-2b)/2 为函数的唯一极小值点。
f(x)min=(-1+√1-2b)2/4+bln[(1+√1-2b)/2]
B。0＜b＜1/2
则 x1=(-1-√1-2b)/2＞-1
x2=(-1+√1-2b)/2＞-1
当 x∈(-1,x1)时
∵ (x-x1)＜0
(x-x2)＜0
(x+1)＞0
∴ f'(x)=(x-x1)(x-x2)/(x+1)＞0
当 x∈(x1,x2)时
∵ (x-x1)＞0
(x-x2)＜0
(x+1)＞0
∴ f'(x)=(x-x1)(x-x2)/(x+1)＜0
当 x∈(x2,+∞)时
∵ (x-x1)＞0
(x-x2)＞0
(x+1)＞0
∴ f'(x)=(x-x1)(x-x2)/(x+1)＞0
可知当0＜b＜1/2时,
x1=(-1-√1-2b)/2 为函数的一极大值点;
x2=(-1+√1-2b)/2 为函数的一极小值点。
综上所述:
当b＜0时,x=(-1+√1-2b)/2 为函数的唯一极小值点。
当0＜b＜1/2时,函数有一个极大值点x1=(-1-√1-2b)/2;
有一个极小值点x2=(-1+√1-2b)/2。
当b≥0时,无极值点。
(3):不等式ln(1+1/n)＞1/n2-1/n3。其等价于
1/n3-1/n2+ln(1+1/n)＞0
令 g(x)= x3-x2+ln(1+x)
则 g'(x)=(3x2-2x)+l/(1+x)
=[3x3+(x-1)2]/(x+l)
明显当x∈[0,+∞)时 g'(x)＞0 ,
函数 g(x)= x3-x2+ln(1+x)单调递增。
又 g(0)=0
可知x∈(0,+∞)时 , g(x)＞0
当然g(1/n)=(1/n)3-(1/n)2+ln(1+1/n)＞0
所以对任意的正整数n,
ln(1+1/n)＞1/n2-1/n3
证毕。
。收起
