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奇函数f(x)在(-∞，0)∪(0,+∞)上有定义，且在(0,+∞)上递减，f(2)=0
(1)f(x)＜0时，x的取值范围
因为f(x)为奇函数，所以它的图像关于原点对称，已知在(0,+∞)上递减
所以，在(-∞，0)上也递减
已知f(2)=0，所以f(-2)=-f(2)=0
那么：
当x＞2时，因为递减，所以f(x)＜f(2)=0
当-2＜x＜0时，也因为递减，所以f(x)＜f(-2)=0
综上：f(x)＜0的x取值范围是(-2,0)∪(2,+∞)
(2)若g(θ)=cos^2 θ-2mcosθ+4m，其中θ∈[0,2π)。
集合M={m|g(θ)＞0}，集合N={m|f(g(θ))＜0}，求M∩N 集合M={m|g(θ)＞0} 集合N={m|f(g(θ))＜0} 由(1)知，f(x)＜0的解集为(-2,0)∪(2,+∞) 所以：集合N={m|g(θ)＞2，或者-2＜g(θ)＜0} 所以，M∩N={m|g(θ)＞2} ===> cos^2 θ-2mcosθ+4m＞2 ===> (cosθ-m)^2＞m^2-4m+2 因为θ∈[0,2π)，所以cosθ∈[-1,1] 则，cosθ-m∈[-1-m,1-m] ①当-1-m≤0，,1-m≥0，即-1≤m≤1时，(cosθ-m)^2有最小值0 则：m^2-4m+2＜0 所以，2-√2＜m＜2+√2 所以，2-√2＜m≤1………………………………………………（1） ②当-1-m≥0，1-m≥0，即m≤-1时，(cosθ-m)^2有最小值(-1-m)^2 则，(-1-m)^2＞m^2-4m+2 ===> 1+2m+m^2＞m^2-4m+2 ===> 6m＞1 ===> m＞1/6 此时与m≤-1无交集 ③当-1-m≤0,1-m≤0时，即m≥1时，(cosθ-m)^2有最小值(1-m)^2 则，(1-m)^2＞m^2-4m+2 ===> 1-2m+m^2＞m^2-4m+2 ===> 2m＞1 ===> m＞1/2 此时与m≥1的交集就是m≥1…………………………………………（2） 由(1)(2)得到：m＞2-√2。
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集合M={m|g(θ)＞0}，集合N={m|f(g(θ))＜0}，求M∩N 集合M={m|g(θ)＞0} 集合N={m|f(g(θ))＜0} 由(1)知，f(x)＜0的解集为(-2,0)∪(2,+∞) 所以：集合N={m|g(θ)＞2，或者-2＜g(θ)＜0} 所以，M∩N={m|g(θ)＞2} ===> cos^2 θ-2mcosθ+4m＞2 ===> (cosθ-m)^2＞m^2-4m+2 因为θ∈[0,2π)，所以cosθ∈[-1,1] 则，cosθ-m∈[-1-m,1-m] ①当-1-m≤0，,1-m≥0，即-1≤m≤1时，(cosθ-m)^2有最小值0 则：m^2-4m+2＜0 所以，2-√2＜m＜2+√2 所以，2-√2＜m≤1………………………………………………（1） ②当-1-m≥0，1-m≥0，即m≤-1时，(cosθ-m)^2有最小值(-1-m)^2 则，(-1-m)^2＞m^2-4m+2 ===> 1+2m+m^2＞m^2-4m+2 ===> 6m＞1 ===> m＞1/6 此时与m≤-1无交集 ③当-1-m≤0,1-m≤0时，即m≥1时，(cosθ-m)^2有最小值(1-m)^2 则，(1-m)^2＞m^2-4m+2 ===> 1-2m+m^2＞m^2-4m+2 ===> 2m＞1 ===> m＞1/2 此时与m≥1的交集就是m≥1…………………………………………（2） 由(1)(2)得到：m＞2-√2。
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1。
奇函数f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)内有定义，
且在(0，＋∞)内递减，
则f(x)在(－∞，0)内也递减。
2。
f(2)=0
则f(-2)=0
3。
f(x)＜0在(0，＋∞)内的解是：x＞2, 则 f(x)＜0在(-∞，0)内的解是：-2＜x＜0, 所以， f(x)＜0在(－∞，0)∪(0，＋∞)内的解是 x∈(-2, 0)∪(2，＋∞) 4。
M ={ m| g(θ)＞0 } N ={ m| f[g(θ)]＜0 } ={ m|-2＜ g(θ)＜0 或 g(θ)＞2 } M∩N ={ m| g(θ)＞2 } 5。
g(θ)＞2 [cosθ]^2 -2mcosθ +4m ＞ 2, θ∈[0, 2π) m ＞[2 -(cosθ)^2]/(4 -2cosθ) 令 2 -cosθ =t, 则 t∈[1, 3] [2 -(cosθ)^2]/(4 -2cosθ) =2 -(t/2 +1/t) ≥2 -[(√2)/2 + 1/(√2)] =2 -√2 所以 m ＞2 -√2 即 M∩N ={ m| m＞2 -√2 } 【补充说明】 在t∈[1, 3]上， t/2 +1/t ≥(√2)/2 + 1/(√2) =√2 [2 -(cosθ)^2]/(4 -2cosθ) =2 -(t/2 +1/t) 在t∈[1, 3]上的最大值是 2 -√2。
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f(x)＜0在(0，＋∞)内的解是：x＞2, 则 f(x)＜0在(-∞，0)内的解是：-2＜x＜0, 所以， f(x)＜0在(－∞，0)∪(0，＋∞)内的解是 x∈(-2, 0)∪(2，＋∞) 4。
M ={ m| g(θ)＞0 } N ={ m| f[g(θ)]＜0 } ={ m|-2＜ g(θ)＜0 或 g(θ)＞2 } M∩N ={ m| g(θ)＞2 } 5。
g(θ)＞2 [cosθ]^2 -2mcosθ +4m ＞ 2, θ∈[0, 2π) m ＞[2 -(cosθ)^2]/(4 -2cosθ) 令 2 -cosθ =t, 则 t∈[1, 3] [2 -(cosθ)^2]/(4 -2cosθ) =2 -(t/2 +1/t) ≥2 -[(√2)/2 + 1/(√2)] =2 -√2 所以 m ＞2 -√2 即 M∩N ={ m| m＞2 -√2 } 【补充说明】 在t∈[1, 3]上， t/2 +1/t ≥(√2)/2 + 1/(√2) =√2 [2 -(cosθ)^2]/(4 -2cosθ) =2 -(t/2 +1/t) 在t∈[1, 3]上的最大值是 2 -√2。
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