数学立体几何若干问题1.已知两条异面直
1。 选B
把异面直线a,b平移到平面β上,设直线l与β所成角为φ,由三余弦定理, cosθ=cosφcos60°=(√3/2)cosφ, ∵ 0≤cosφ≤1,
∴ 0≤cosθ≤√3/2, ∴ 30°≤θ≤90°
2。 选D
∵ S△PAB=S△PBC=S△PAC,S侧=3S△PAB,二面角P-AB-C的平面角为θ,由面积射影定理cosθ=S△ABC/S侧=2/9
3。 选C
如图1所示, ∵ EF⊥ED,EF⊥EA1, ∴ ∠A1ED=60°,A1E=ED=2,
∴ A1D=2, EF⊥面A1ED,CD∥EF, ∴ CD⊥面A1ED, CD⊥A1D, 由勾股定理,得A1C&sup...全部
1。 选B
把异面直线a,b平移到平面β上,设直线l与β所成角为φ,由三余弦定理, cosθ=cosφcos60°=(√3/2)cosφ, ∵ 0≤cosφ≤1,
∴ 0≤cosθ≤√3/2, ∴ 30°≤θ≤90°
2。
选D
∵ S△PAB=S△PBC=S△PAC,S侧=3S△PAB,二面角P-AB-C的平面角为θ,由面积射影定理cosθ=S△ABC/S侧=2/9
3。 选C
如图1所示, ∵ EF⊥ED,EF⊥EA1, ∴ ∠A1ED=60°,A1E=ED=2,
∴ A1D=2, EF⊥面A1ED,CD∥EF, ∴ CD⊥面A1ED, CD⊥A1D, 由勾股定理,得A1C²=13, ∴ A1C=√13
4。
以PA,PB,PC为长,宽,高作一长方体,则此长方体的对角线长=长方体的外接球的直径=√(2+3+2²)=3, ∴ 球的体积=(4/3)×π×(1。5)²=9π/2
5。
如图2所示
(1) 由勾股定理易得DE²=CD²=2a²,BE²=3a²,BC⊥CE,BD²=5a²
∵ DE²+CE²=CD²,DE²+BE²=BD², ∴ DE⊥CE,DE⊥BE,CE∩BE=E,
∴ DE⊥面BCE,DE在面BDE内, ∴ 面BCE⊥面BDE
(2) ∵ 面BCE⊥面BDE,作CG⊥BD于G,F为CD的中点,FH⊥BD于H,由三垂线定理EH⊥BD, ∴ ∠EHF=θ是二面角E-BD-C的平面角。
CG=BC*CD/BD=2a/√5, FH=CG/2=a/√5, ∴ tanθ=EF/FH=√5
(3) 三棱锥B1-BDE的体积=三棱锥B-B1D1E的体积=△B1DE的面积×B1B/3。
设M为B1D的中点,由勾股定理B1D=√6a, EM=a/√2,
∴ △B1DE的面积=B1D×EM/2=√3a²/2,
∴ 三棱锥B1-BDE的体积=√3(a^3)/6
。
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