求递推公式

已知一个数列的递推公式、如何求解它的通项公式。

公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法等等。 类型一 归纳—猜想—证明 由数列的递推公式可写出数列的前几项，再由前几项总结出规律，猜想出数列的一个通项公式，最后用数学归纳法证明． 类型二 “逐差法”和“积商法” (1)当数列的递推公式可以化为an 1-an=f(n)时，取n=1,2,3,…,n-1，得n-1个式子： a2-a1=f(1),a3-a2=f(2),…,an-an-1=f(n-1)， 且f(1) f(2) … f(n-1)可求得时，两边累加得通项an，此法称为“逐差法”． (...全部

  公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法等等。
   类型一 归纳—猜想—证明 由数列的递推公式可写出数列的前几项，再由前几项总结出规律，猜想出数列的一个通项公式，最后用数学归纳法证明． 类型二 “逐差法”和“积商法” (1)当数列的递推公式可以化为an 1-an=f(n)时，取n=1,2,3,…,n-1，得n-1个式子： a2-a1=f(1),a3-a2=f(2),…,an-an-1=f(n-1)， 且f(1) f(2) … f(n-1)可求得时，两边累加得通项an，此法称为“逐差法”． (2)当数列的递推公式可以化为an 1/an=f(n)时，令n=1,2,3,…,n-1,得n-1个式子，即 a2/a1=f(1),a3/a2=f(2),a4/a3=f(3),…,an/an-1=f(n－1)，且f(1)f(2)f(3)…f(n-1)可求得时，两边连乘可求出an，此法称为“积商法”． 类型三 构造法 递推式是pan=qan-1 f(n)(p、q是不为零的常数)，可用待定系数法构造一个新的等比数列求解． 类型四 可转化为类型三求通项 (1)“对数法”转化为类型三． 递推式为an 1=qan?k(q＞0,k≠0且k≠1,a1＞0)，两边取常用对数，得lgan 1=klgan lgq，令lgan=bn，则有bn 1=kbn lgq，转化为类型三． (2)“倒数法”转化为类型三． 递推式为商的形式：an 1=(pan b)/(qan c)(an≠0，pq≠0,pc≠qb)． 若b=0，得an 1=pan/(qan c)．因为an≠0，所以两边取倒数得1/an 1=q/p c/pan,令bn=1/an,则bn 1=(c/p)bn q/p，转化为类型三． 若b≠0，设an 1 x=y(an x)/qan c，与已知递推式比较求得x、y，令bn=an x，得bn 1=ybn/qan c，转化为b=0的情况． 类型五 递推式为an 1/an=qn/n k(q≠0,k∈N) 可先将等式(n k)an 1=qnan两边同乘以(n k-1)(n k-2)…(n 1)，得(n k)(n k-1)(n k-2)…(n 1)an 1=q(n k-1)(n k-2)…(n 1)nan，令bn=(n k-1)(n k-2)…(n 1)•nan,则bn 1=(n k)(n k-1)(n k-2)…(n 1)an 1． 从而bn 1=qbn，因此数列｛bn｝是公比为q，首项为b1=k(k-1)(k-2)…2•1•a1=k!a1的等比数列，进而可求得an． 总之，由数列的递推公式求通项公式的问题比较复杂，不可能一一论及，但只要我们抓住递推数列的递推关系，分析结构特征，善于合理变形，就能找到解决问题的有效途径． 类型一?归纳—猜想—证明 由数列的递推公式可写出数列的前几项，再由前几项总结出规律，猜想出数列的一个通项公式，最后用数学归纳法证明． ?例1?设数列｛an｝是首项为1的正项数列，且(n 1)a2n 1-nan2 an 1an=0(n=1,2,3,…)，则它的通项公式是an=______________．(2000年全国数学卷第15题) 解：将(n 1)a2n 1-nan2 an 1an=0(n=1,2,3,…)分解因式得(an 1 an)〔(n 1)an 1-nan〕=0． ??由于an＞0，故(n 1)an 1=nan，即an 1=n/(n 1)an． ??因此a2=(1/2)a1=(1/2)，a3=(2/3)a2=(1/3),…．猜想an=(1/n),可由数学归纳法证明之，证明过程略． 类型二?“逐差法”和“积商法” (1)当数列的递推公式可以化为an 1-an=f(n)时，取n=1,2,3,…,n-1，得n-1个式子： a2-a1=f(1),a3-a2=f(2),…,an-an-1=f(n-1)， 且f(1) f(2) … f(n-1)可求得时，两边累加得通项an，此法称为“逐差法”． 例2?已知数列｛an｝满足a1=1,an=3n-1 an-1(n≥2),证明：an=(3n-1)/2． (2003年全国数学卷文科第19题) 证明：由已知得an-an-1=3n-1，故 an=(an-an-1) (an-1－an-2) … (a2-a1) a1=3n-1 3??n-2? … 3 1=3n-1/2． 所以得证． (2)当数列的递推公式可以化为an 1/an=f(n)时，令n=1,2,3,…,n-1,得n-1个式子，即 a2/a1=f(1),a3/a2=f(2),a4/a3=f(3),…,a??n?/an-1?=f(n－1)?，?且f(1)f(2)f(3)…f(n-1)可求得时，两边连乘可求出an，此法称为“积商法”． 例3?(同例1)(2000年全国数学卷第15题) 另解：将(n 1)a2n 1-nan2＋an 1an=0(n?=1,2,3,…)化简，得(n 1)an 1=nan，即 an 1/an=n/(n 1)．? 故an=an/an-1•an-1/an-2•an-2/an-3•…•a2/a1?=n-1/n•n-2/n-1•n-3/n-2• … •1/2?=1/n． 类型三?构造法 递推式是pan=qan-1 f(n)(p、q是不为零的常数)，可用待定系数法构造一个新的等比数列求解． 例4?(同例2)(2003年全国数学卷文科第19题) 另解：由an=3n-1 an-1得3•an/3n=an-1/3n-1 1． 令bn＝an/3n，则有 bn=1/3bn-1 1/3． (*) 设bn x=1/3(bn-1 x)，则bn=1/3bn-1 1/3x-x，与(*)式比较，得x=-1/2，所以bn-1/2=1/3(bn-1-1/2)．因此数列｛bn-1/2｝是首项为b1-1=a1/3=-1/6，公比为1/3的等比数列，所以bn-1/2=-1/6•(1/3)n-1，即an/3n-1/2=-1/6(1/3)n-1．故an=3n〔1/2-1/6(1/3)n-1〕=3n-1/2． 例5?数列｛an｝中，a1=1,an 1=4an 3n 1，求an．? 解：令an 1 (n 1)x y=4(an nx y)，则 an 1=4an 3nx 3y-x,与已知an 1=4an 3n 1比较，得 3x=3， 所以 x=1, 3y-x=1， y=(2/3)． 故数列｛an n (2/3)｝是首项为a1 1 (2/3)=(8/3)，公比为4的等比数列，因此an n (2/3)=(8/3)•4n-1,即 an=(8/3)•4n-1-n-(2/3)． 另解：由已知可得当n≥2时，an=4an-1 3(n-1) 1，与已知关系式作差，有an 1-an=4(an-an-1) 3，即an 1-an 1=4(an-an-1 1)，因此数列｛an 1-an 1｝是首项为a2-a1 1=8-1 1=8，公比为4的等比数列，然后可用“逐差法”求得其通项an=(8/3)•4n-1-n-(2/3)． 类型四?可转化为 类型三求通项 (1)“对数法”转化为 类型三． 递推式为an 1=qan?k(q＞0,k≠0且k≠1,a1＞0)，两边取常用对数，得lgan 1=klgan lgq，令lgan=bn，则有bn 1=kbn lgq，转化为 类型三． 例6?已知数列｛an｝中，a1=2,an 1=an2，求an． 解：由an 1=an2＞0，两边取对数得lgan 1=2lgan．令bn=lgan则bn 1=2bn．因此数列｛bn｝是首项为b1=lga1=lg2，公比为2的等比数列，故bn=2n-1lg2=lg22n-1，即an=22n-1． (2)“倒数法”转化为 类型三． 递推式为商的形式：an 1=(pan b)/(qan c)(an≠0，pq≠0,pc≠qb)． 若b=0，得an 1=pan/(qan c)．因为an≠0，所以两边取倒数得1/an 1=q/p c/pan,令bn=1/an,则bn 1=(c/p)bn q/p，转化为 类型三． 若b≠0，设an 1 x=y(an x)/qan c，与已知递推式比较求得x、y，令bn=an x，得bn 1=ybn/qan c，转化为b=0的情况． 例7?在数列｛an｝中，已知a1=2,an 1=(3an 1)/(an 3)，求通项an． 解：设an 1 x=y(an x)/an 3，则an 1=(y-x)an (y-3)x/an 3，结合已知递推式得 y-x=3, 所以 x=1, y-3=1， y=4， 则有an 1 1=4(an 1)/an 3，令bn=an 1，则bn 1=4bn/bn 2，求倒数得1/bn 1=1/2•1/bn 1/4，即1/bn 1-1/2=1/2(1/bn-1/2)． 因此数列｛1/bn-1/2｝是首项为1/b1-1/2=1/a1 1-1/2=-1/6，公比为1/2的等比数列． 故1/bn-1/2=(-1/6)(1/2)n-1，从而可求得an． 类型五?递推式为an 1/an=qn/n k(q≠0,k∈N) 可先将等式(n k)an 1=qnan两边同乘以(n k-1)(n k-2)…(n 1)，得(n k)(n k-1)(n k-2)…(n 1)an 1=q(n k-1)(n k-2)…(n 1)nan，令bn=(n k-1)(n k-2)…(n 1)•nan,则bn 1=(n k)(n k-1)(n k-2)…(n 1)an 1． 从而bn 1=qbn，因此数列｛bn｝是公比为q，首项为b1=k(k-1)(k-2)…2•1•a1=k!a1的等比数列，进而可求得an． 例8?(同例1)(2000年全国数学卷第15题) 另解：将(n 1)a2n 1-na2n an 1an=0(n=1,2,3,…)，化简得(n 1)an 1=nan,令nan=bn，则bn 1=bn，所以数列｛bn｝是常数列，由于首项b1=1•a1=1，所以bn=1,即nan=1，故an=1/n． 总之，由数列的递推公式求通项公式的问题比较复杂，不可能一一论及，但只要我们抓住递推数列的递推关系，分析结构特征，善于合理变形，就能找到解决问题的有效途径．。收起