设x^2+2y^2=2的上顶点为
解:易知点B的坐标是(0,1),F的坐标是(1,0)。直线BF的斜率是
(0-1)/(1-0)=-1
设直线l符合题意,则l⊥BF,因此l的斜率是
-1/-1=1。
设l的方程是y=x+t,再设M、N的坐标分别是
M(a,a+t),N(b,b+t)。
由于点M、N在椭圆上,因此a、b是以下方程的两根:
x^2+2(x+t)^2=2
化简得
3x^2+4tx+2t^2-2=0 ①
因此
a+b=-4t/3 ②
ab=(2t^2-2)/3 ③
易知
向量BM=(a,a+t-1)。
向量FN=(b-1,b+t)。
由题意得BM⊥FN,因此向量BM和FN的内积为0,即
a(b-1)+(a+...全部
解:易知点B的坐标是(0,1),F的坐标是(1,0)。直线BF的斜率是
(0-1)/(1-0)=-1
设直线l符合题意,则l⊥BF,因此l的斜率是
-1/-1=1。
设l的方程是y=x+t,再设M、N的坐标分别是
M(a,a+t),N(b,b+t)。
由于点M、N在椭圆上,因此a、b是以下方程的两根:
x^2+2(x+t)^2=2
化简得
3x^2+4tx+2t^2-2=0 ①
因此
a+b=-4t/3 ②
ab=(2t^2-2)/3 ③
易知
向量BM=(a,a+t-1)。
向量FN=(b-1,b+t)。
由题意得BM⊥FN,因此向量BM和FN的内积为0,即
a(b-1)+(a+t-1)(b+t)=0。
化简得
ab-a+ab+at+bt+t^2-b-t=0
2ab+(t-1)(a+b)+t^2-t=0 ④
将②、③式代入④式得
2(2t^2-2)/3+(t-1)(-4t/3)+t^2-t=0
3t^2+t-4=0
(t-1)(3t+4)=0
因此t=1或-4/3。
若t=1,则直线l过B点,这明显不合题意。
若t=-4/3,则直线l不过B点,且此时方程①为
3x^2-16x/3+14/9=0
27x^2-48x+14=0
该方程中的判别式为
△=48×48-4×27×14>0
因此t=-4/3符合题意。
综上所述,存在符合题意的直线l,其方程为
y=x-4/3。收起