高2了~TOY数学专问4
已知a,b,c∈R求证：a^4+b^4+c^4≥a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2≥abc(a+b+c)
全部回答
1。a^4+b^4+c^4-[a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2]=
=(a^2-b^2)^2/2+(b^2-c^2)^2/2+(c^2-a^2)^2/2≥0
==>a^4+b^4+c^4≥a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2
2。
(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)^2= =(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)(b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2) ≥[√(a^2b^2b^2c^2)+√(b^2c^2c^2a^2)+√(c^2a^2b^2b^2)^2]^2= =[|abc|(|a|+|b|+|c|)|]^2==> a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2≥|abc|(|a|+|b|+|c|)|≥abc(a+b+c) 。
。
(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)^2= =(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)(b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2) ≥[√(a^2b^2b^2c^2)+√(b^2c^2c^2a^2)+√(c^2a^2b^2b^2)^2]^2= =[|abc|(|a|+|b|+|c|)|]^2==> a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2≥|abc|(|a|+|b|+|c|)|≥abc(a+b+c) 。
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