基数是什么意思基数是什么意思
基数是计算发展速度、增长速度时用的基期水平。
基数也是底数的别称。
康托尔在1874年～1884年引入最原始的集合论（现称朴素集合论）时, 首次引入基数概念。 他最先考虑的是集合 {1,2,3} 和 {2,3,4}，它们并非相同，但有相同的基数。 骤眼看来，这是显而易见，但究竟可谓两个集合有相同数目的元素？
康托尔的答案，是所谓一一对应，即把两个集合的元素一对一的排起来——若能做到，两个集合的基数自然相同。这答案，容易理解但却是革命性的，因为用相同的方法即可比较任意集合，包括无穷集合的大小!
最先被考虑的无穷集合是自然数集 N = {1, 2, 3, 。 。。} 及其无限子集。他把所有...全部
基数是计算发展速度、增长速度时用的基期水平。
基数也是底数的别称。
康托尔在1874年～1884年引入最原始的集合论（现称朴素集合论）时, 首次引入基数概念。 他最先考虑的是集合 {1,2,3} 和 {2,3,4}，它们并非相同，但有相同的基数。
骤眼看来，这是显而易见，但究竟可谓两个集合有相同数目的元素？
康托尔的答案，是所谓一一对应，即把两个集合的元素一对一的排起来——若能做到，两个集合的基数自然相同。这答案，容易理解但却是革命性的，因为用相同的方法即可比较任意集合，包括无穷集合的大小!
最先被考虑的无穷集合是自然数集 N = {1, 2, 3, 。
。。} 及其无限子集。他把所有与 N 能一一对应的集为可数集。大出康托尔意外，原来 N 的所有无限子集都能与 N一一对应！他把的基数称为，是最少的超穷基数（transfinite cardinal numbers）。
康托尔发现，原来有理数集合与代数数集合也是可数的！于是乎在1874年初，他尝试证明是否所有无限集合均是可数，稍后他得出著名的对角论证法，实数集是不可数的！实数集的基数，记作c，代表连续统。
接着康托尔构作一个比一个大的集合，得出一个比一个大的基数，而这些巨大集合的元素已不可如实数般书写出来。因此关于基数的一般理论，需要一个新的语言描述，这就是康托尔发明集合论的主因。
康托尔随后提出连续统假设： c 就是第二个超穷数 , 即継 之后最小的基数。
多年后，数学家发现这假设是不能证明的，即接受或否定它会得出两套不同但逻辑上可行的公理化集合论。
动机
在非形式使用中，基数就是通常被称为计数的东西。它们同一于开始于 0 的自然数(就是 0, 1, 2, 。
。。)。计数严格的是可形式定义为有限基数的东西。无限基数只出现在高级数学和逻辑中。
更加形式的说，非零数可以用于两个目的: 描述一个集合的大小，或描述一个元素在序列中位置。对于有限集合和序列，可以轻易的看出着两个概念是相符的，因为对于所有描述在序列中的一个位置的数，我们可以构造一个有精确的正好大小的集合，比如 3 描述 'c' 在序列 中的位置，并且我们可以构造有三个元素的集合 {a,b,c}。
但是在处理无限集合的时候，在这两个概念之间的区别是本质的 — 这两个概念对于无限集合实际上是不同的。考虑位置示象(aspect)导致序数，而大小示象被这里描述的基数所普遍化。
在基数形式定义背后的直觉是构造一个集合的相对大小的概念而不提及它有那些成员。
对于有限集合这是容易的；你可以简单的计数一个集合的成员的数目。为了比较更大集合的大小，必须借助更加微妙的概念。
一个集合 Y 是至少等大小于或大于等于一个集合 X，如果有从 X 的元素到 Y 的元素的一个单射(一一映射)。
一一映射对集合 X 的每个元素确定了一个唯一的集合 Y 的元素。这通过例子是最容易理解的；假设我们有集合 X = {1,2,3} 和 Y = {a,b,c,d}，则使用这个大小概念我们可以观察到有一个映射:
1 → a
2 → b
3 → c
这是一对一的，因此结论出 Y 有大于等于 X 的势。
注意元素 d 没有元素映射到它，但这是允许的，因为我们只要求一一映射，而不必须是一对一并且完全的映射。这个概念的好处是它可以扩展到无限集合。
我们可以扩展这个概念到一个等式风格的关系。两个集合 X 和 Y 被称为有相同的势，如果存在 X 和 Y 之间的双射。
通过 Schroeder-Bernstein定理，这等价于有从 X 到 Y 和从 Y 到 X 的两个一一映射。我们接着写为 | X | = | Y |。X 的基数自身经常被定义为有着 | a | = | X | 的最小序数 a。
这叫做冯·诺伊曼基数指派；为使这个定义有意义，必须证明所有集合都有同某个序数一样的势；这个陈述就是良序原理。然而有可能讨论集合的相对的势而不用明确的指派名字给对象。
在无限旅馆悖论也叫做希尔伯特大旅馆悖论中使用的经典例子。
假设你是有无限个房间的旅馆的主人。旅馆客满，而又来了一个新客人。有可能通过让在房间 1 的客人转移到房间 2，房间 2 的客人转移到房间 3 以此类推，腾空房间 1 的方式安置这个新客人。我们可以明确的写出这个映射的一个片段:
1 ↔ 2
2 ↔ 3
3 ↔ 4
。
。。
n ↔ n+1
。。。
在这种方式下我们可以看出集合 {1,2,3,。。。} 和集合 {2,3,4,。。。} 有相同的势，因为已经展示了这两个集合之间的双射。这激发了定义无限集合是有着相同的势的真子集的任何集合；在这个情况下 {2,3,4,。
。。} 是 {1,2,3,。。。} 的真子集。
当我们考虑这些大对象的时候，我们还想看看计数次序的概念是否符合上述为无限集合定义的基数。碰巧不符合；通过考虑上面的例子，我们可以看到“比无限大一”某个对象存在，它必须有同我们起初的无限集合有一样的势。
有可能使用基于计数并依次考虑每个数的想法的叫做序数的不同的数的形式概念，而我们发现势和序(ordinality)的概念对于无限数是有分歧的。
可以证明实数的势大于刚才描述的自然数的势。这可以使用对角论证法来可视化；势的经典问题(比如连续统假设)关心发现在某一对无限基数之间是否有某个基数。
最近数学家已经描述了更大更大基数的性质。
因为基数是数学中如此常用的概念，使用了各种各样的名字。势相同有时叫做等势、均势或等多(equipotence, equipollence, equinumerosity)。
因此称有相同势的两个集合为等势的、均势的或等多的(equipotent, equipollent, equinumerous)。
定义
首先，给出集合 X 和 Y，我们称 X 的势比 Y 小，记作 | X | ≤ | Y |， 当且仅当存在由 X 到 Y 的单射。
我们称 X 的势与 Y 相等，记作 | X | = | Y |， 当且仅当存在由 X 到 Y 的双射（即一一对应）。
Cantor-Bernstein-Schroeder 定理指出如果 | X | ≤ | Y | 及 | Y | ≤ | X | 则 | X | = | Y |。
假设选择公理，所有集合都可良序，且对于所有集合 X 与 Y, 有 | X | ≤ | Y | 或 | Y | ≤ | X |。因此，我们可以定义序数，而 集合 X 的基数则是与 X 等势的最小序数 α。
（若不接受选择公理，我们也可对非良序集 X 定义基数，就是所有与 X 等势的集的阶中最小者。）
有限集的基数
自然数的一种定义是 0={ },1={0},2={0,1},3={0,1,2},……,N={0,1,。
。。,N-1}。可以见到，与数 N 等势的集必有 N 个元素。如集合{2，3，5}的基数为3。
以下是有限集的三个等价定义：它与某自然数等势；它只有一个等势的序数，就是它的基数；它没有等势的真子集。
无限集的基数
最小的无限集合是自然数集。{1，2，3，4，…，n，…}与{2，4，6，8，…，2n，…}基数相同，因为可以让前一集合的 n 与后一集合的 2n 一一对应。从这个例子可以看出，对于一个无穷集合来说，它可以和它的一个真子集有相同的基数。
以下是无限集的四个等价定义：它不与任何自然数等势；它有超过一个等势的序数；它有至少一个真子集和它等势；存在由自然数集到它的单射。
基数算术
我们可在基数上定义若干算术运算，这是对自然数运算的推广。
给出集合 X 与 Y，定义 X+Y={(x,0):x ∈ X} ∪ {(y,1):y ∈ Y}，则基数和是
|X| + |Y| = |X + Y|。
若 X 与 Y 不相交，则 |X| + |Y| = |X ∪ Y|。
基数积是
|X| |Y| = |X × Y|
其中 X × Y 是 X 和 Y 的笛卡儿积。
基数指数是
|X||Y| = |XY|
其中 XY 是所有由 Y 到 X 的函数的集合。
在有限集时，这些运算与自然数无异。一般地，它们亦有普通算术运算的等质：
加法和乘法是可置换的，即 |X|+|Y|=|Y|+|X| 及 |X||Y|=|Y||X|。
加法和乘法适合结合律，(|X|+|Y|)+|Z|=|X|+(|Y|+|Z|) 及 (|X||Y|)|Z|=|X|(|Y||Z|)
分配律，即 (|X|+|Y|)|Z|=|X||Z|+|Y||Z|。
|X||Y| + |Z| = |X||Y| |X||Z|
|X||Y| |Z| = (|X||Y|)|Z|
(|X||Y|)|Z| = |X||Z| |Y||Z|
无穷集合的加法及乘法（假设选择公理）非常简单。
若 X 与 Y 皆非空而其中之一为无限集，则
|X| + |Y| = |X||Y| = max{|X|, |Y|}。
注意 2| X | 是 X 的幂集之基数。由对角论证法可知 2| X | > | X |，是以并不存在最大的基数。
事实上，基数的类是真类。
还有些关于指数的有趣性质：
|X|0 = 1 (很奇怪地 00 = 1)。
0|Y| = 0 若 Y 非空。
1|Y| = 1。
|X| ≤ |Y| 则 |X||Z| ≤ |Y||Z|。
若 |X| 和 |Y| 俱有限且大于 1，而 Z 是无穷，则 |X||Z| = |Y||Z|。
若 X 是无穷而 Y 是有限及非空，则 |X||Y| = |X|。
基数序列及连续统假设
对每一个基数，存在一个最小比它大的基数。
这在自然数当然是对的。自然数集的基数是 ，康托尔称下一个是 ，相类似的,还定义了如下一个序列:,,…。
注意 。连续统假设猜想，就是 。
连续统假设是与一般集论公理（即Zermelo-Fraenkel 公理系统加上选择公理）是独立的。
更一般的假设，即 。广义连续统假设，就是对所有无穷基数 X，都不存在界乎 X 与 2X之间的基数。
作为一种信仰,康托尔相信存在一种绝对无限,比任何一个无限集的基数都要大。
。
收起
