一道关于维数的证明题
1。
由于线性函数和其矩阵A有相同的性质
只需证明线性函数的矩阵A满足上面的性质就可以了,
即Dim[KerA]=R(A^(n-1))=1。
2。
A^(n-1)≠0==>
有X使A^(n-1)[X]≠0。
证明:X,AX,。。。,A^(n-1)X线性无关。
设λ1X+λ2AX+。。。+λnA^(n-1)X=0
==>
0=A^(n-1)[λ1X+λ2AX+。。。+λnA^(n-1)X]=
=λ1A^(n-1)[X]
==>λ1=0==>
λ2AX+。 。。+λnA^(n-1)X=0
同理可得:λ1=λ2=。。=λn=0。
==>
X,AX,。。。,A^(n-1)X线性无关。
==>...全部
1。
由于线性函数和其矩阵A有相同的性质
只需证明线性函数的矩阵A满足上面的性质就可以了,
即Dim[KerA]=R(A^(n-1))=1。
2。
A^(n-1)≠0==>
有X使A^(n-1)[X]≠0。
证明:X,AX,。。。,A^(n-1)X线性无关。
设λ1X+λ2AX+。。。+λnA^(n-1)X=0
==>
0=A^(n-1)[λ1X+λ2AX+。。。+λnA^(n-1)X]=
=λ1A^(n-1)[X]
==>λ1=0==>
λ2AX+。
。。+λnA^(n-1)X=0
同理可得:λ1=λ2=。。=λn=0。
==>
X,AX,。。。,A^(n-1)X线性无关。
==>
{X,AX,。。。,A^(n-1)X}是一个基。
3。
Y∈KerA,
Y=λ1X+λ2AX+。。。+λnA^(n-1)X,
0=AY=A[λ1X+λ2AX+。。。+λnA^(n-1)X]=
=λ1AX+。。。+λ(n-1)A^(n-1)X
==>λ1=。
。。=λ(n-1)=0
Y=λnA^(n-1)X==>Dim[KerA]=1
4。
由于AX,。。。
,A^(n-1)X∈KerA^(n-1)
==>R(A^(n-1))≤1,而A^(n-1)≠0
==>1≤R(A^(n-1))==>R(A^(n-1))=1
==>
Dim[KerA]=R(A^(n-1))=1
。收起
