数学问题问题 设x，y，z为正实数，且xyz=1。求证
（x+y)*(y+z)*(z+x)≥4(x+y+z-1)
证明一 先给一个转化为三角形几何不等式,再利用”s-R-r方法”的证明, 这是一个”死算”的方法。
为习惯起见,我们将原不等式写为
(x+y)(y+z)(z+x)>=4(x+y+z-1) (1)
其中 xyz=1 。
作代换 x=s-a,y=s-b,z=s-c ,则 a,b,c 是三角形的边长,而 s 是三角形的半周长,于是,不等式(1)化为
abc>=4(s-1)$ (2)
因为 xyz=1s(s-a)(s-b)(s-c)=ssr^2=1,
所以 (2)4Rrs>=4(s-1)R>=(s-1)rR+r>=sr
(R+r)^3>=s^3r^3=s^...全部
证明一 先给一个转化为三角形几何不等式,再利用”s-R-r方法”的证明, 这是一个”死算”的方法。
为习惯起见,我们将原不等式写为
(x+y)(y+z)(z+x)>=4(x+y+z-1) (1)
其中 xyz=1 。
作代换 x=s-a,y=s-b,z=s-c ,则 a,b,c 是三角形的边长,而 s 是三角形的半周长,于是,不等式(1)化为
abc>=4(s-1)$ (2)
因为 xyz=1s(s-a)(s-b)(s-c)=ssr^2=1,
所以 (2)4Rrs>=4(s-1)R>=(s-1)rR+r>=sr
(R+r)^3>=s^3r^3=s^2r。
(3)
而 $R+r=R/2+R/2+r>=3root3(1/4R^2r)$ (4)
由(3),(4)知,只需证
$s=4(a+b+c)$, (1)
即 $(ab+bc+ca)+3/(a+b+c) >=4$, (2)
而由$abc=1$可知
$(ab+bc+ca)^2>=3(a^2bc+ab^2c+abc^2)=3(a+b+c)$,
于是
$(ab+bc+ca)+3/(a+b+c)=1/3(ab+bc+ca) 1/3(ab+bc+ca)+1/3(ab+bc+ca)+3/(a+b+c)$
$>=4root4(1/9(ab+bc+ca)^3/(a+b+c))>= 4root4(1/3(ab+bc+ca))$
$>=4root4(1/3*3(abc)^(2/3))=4$。
因此，不等式(2)成立,从而原不等式成立。
证明三 因为$abc=1$,所以,$a,b,c$中至少有一个不小于1,不妨设a>=1 。由于
(a+b)(b+c)(c+a)=(b+c)(a^2+ab+bc+ca)>=(b+c)(a^2+3root3(abc)^2)= (b+c)(a^2+3)$,
故知,要证原不等式,只需证:
$(b+c)(a^2+3)>= 4(a+b+c-1)$
即证 $(b+c)(a^2-1)>= 4(a-1)$
即证 $(a-1) ((b+c)(a+1)-4)>=0$
从而只要证 $(b+c)(a+1)-4>=0$
即 (b+c)(a+1)>=4$ (1)
而 (b+c)(a+1)=ab+ca+b+c= (1/b+b)+(1/c+c)>=4
因此，不等式(1)成立,从而原不等式成立。
。收起
