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高数几问

  1。函数f(x),请问有没在一点x0处连续,但是它的左导数或者右导数不存在,如果有,麻烦举个例子(注意:不是导数不存在,是左导数或者右导数不存在)2。我知道函数在积分区间上有界,且有有限个间断点,那么可积。我问下假如区间内存在有限个振荡间断点,那是否可积?3。
  
  已知:f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,请问:被积函数为f(x)*cosx,积分区间为0到π,那么我是否可以用分部积分法化为:f(x)*sinx-对f'(x)cosx,0到π积分?(我认为f'(x)不一定连续啊)4。已知两个存在原函数的函数相乘后,是否一定也具有原函数?比如第3问中的f'(x)cosx是否一定具有原函数?为什么?问题有点多,完全搞不懂,麻烦高手详细帮忙解答下,感激不尽!。

全部回答

2012-12-06

0 0
    (一)括号里一句话很别扭,这句话使得这样的例子是不存在了。 因为——没有【导数存在,左右导数不存在】的例子。 【导数不存在,左右导数都存在】的例子倒是有的。 给你几句绕口令【导数存在,左右导数都存在】, 【左(或)右导数不存在,那么导数不存在】, 【导数不存在,左右导数都可能存在,但肯定不相等】 其它问题非数学专业不研究,要回答无法绕过【黎曼可积】的概念,所以就不回答了。
    否则你在牛角尖里无法自拔了。 纠正楼上错误: ①f在(a,b)内可导,则【f'在[A,B]上黎曼可积】与【微积分基本定理】无关。【注】[A,B]包含于(a,b)内。
   ②如果在[a,b]上【f黎曼可积】,那么【∫f(t)dt】在可积区间[a,b]上一定连续,但在(a,b)上并不一定是可导。   例如sgn(x)在[-1,1]上【f黎曼可积】,但在(-1,1)并不存在原函数。
   所以【f黎曼可积】并不是【f存在原函数】的充分条件。 。

2012-12-05

67 0
  1。 f(x)=x*sin(1/x) x不等于0,f(0)=0,f在0连续,左右都不可导 2。 黎曼可积的充要条件是有界且间断点的Lebesgue测度等于0(Lebesgue Criterion),所以有界+有限个间断点一定黎曼可积 3。
   如果f在a,b上有左、右导数的话应该可以,微积分基本定理可以保证f'黎曼可积 4。如果F'=f,G'=g,而且f,g都黎曼可积,那么f*g也黎曼可积,所以存在原函数(微积分基本定理)。

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