初中几何2在等腰直角三角形中，∠BAC=90°，E(E点靠近B)，F(F点靠近C)在BC边。求证：
(1) 如果∠EAF≤45°，则BE^2+CF^2≥EF^2;
(2) 如果∠EAF≥45°，则BE^2+CF^2≤EF^2.
在等腰直角三角形中，∠BAC=90°，E(E点靠近B)，F(F点靠近C)在BC边。求证：
(1) 如果∠EAF≤45°，则BE^2+CF^2≥EF^2;
(2) 如果∠EAF≥45°，则BE^2+CF^2≤EF^2。
证明 设AE为y，AF为z，AB=AC=a。
在△ABE，△ACF中[∠ABE=45°,∠ACF=45°]根据余弦定理得:
BE^2=y^2-a^2+a*BE*√2;y^2=a^2+BE^2-a*BE*√2;
z^2=a^2+CF^2-a*CF*√2; CF^2=z^2-a^2+a*CF*√2。
两式相加得:
BE^2+CF^2=y^2...全部
在等腰直角三角形中，∠BAC=90°，E(E点靠近B)，F(F点靠近C)在BC边。求证：
(1) 如果∠EAF≤45°，则BE^2+CF^2≥EF^2;
(2) 如果∠EAF≥45°，则BE^2+CF^2≤EF^2。
证明 设AE为y，AF为z，AB=AC=a。
在△ABE，△ACF中[∠ABE=45°,∠ACF=45°]根据余弦定理得:
BE^2=y^2-a^2+a*BE*√2;y^2=a^2+BE^2-a*BE*√2;
z^2=a^2+CF^2-a*CF*√2; CF^2=z^2-a^2+a*CF*√2。
两式相加得:
BE^2+CF^2=y^2+z^2-2a^2+a√2(BE+CF)=y^2+z^2-2a^2+a√2(a√2-EF)
=y^2+z^2-a√2EF。
注意到:△AEF面积的两种表示式
yzsin(∠EAF)/2=aEF/(2√2) a√2EF=2yzsin∠EAF
所以有 BE^2+CF^2=y^2+z^2-2yzsin∠EAF
而在△AEF中，根据余弦定理得:
EF^2=y^2+z^2-2yzcos∠EAF
对比上述两式，当∠EAF=45°时，有BE^2+CF^2=EF^2。
(1) 如果∠EAF≤45°，则tan∠EAF≤1，即BE^2+CF^2≥EF^2;
(2) 如果∠EAF≥45°，则tan∠EAF≥1，即BE^2+CF^2≤EF^2。
附证 将△AFC旋转90度到△ADB
∠ABC=∠ACB=∠ABD=45==>∠DBE=90 BD=CF
==>BE^2+CF^2=BE^2+BD^2=DE^2
DE^2=AD^2+AE^2-2AD*AE*cos∠DAE
EF^2=AF^2+AE^2-2AF*AE*cos∠EAF
AD=AF
DE^2-EF^2=2AF*AE(cos∠EAF-cos∠DAE)
∠DAE=∠DAB+∠BAE=∠CAF+∠BAE=90-∠EAF
(1)∠EAF≤45°,则90°＞∠DAE≥∠EAF＞0°,
DE^2-EF^2=2AF*AE(cos∠EAF-cos∠DAE)≥0
DE^2≥EF^2
BE^2+CF^2≥EF^2
(2)∠EAF≥45°,则0°＜∠DAE≤∠EAF＜90°,
DE^2-EF^2=2AF*AE(cos∠EAF-cos∠DAE)≤0
DE^2≤EF^2
BE^2+CF^2≤EF^2
。收起
