所有无理数都可以尺规作图开平方吗
首先明确一点, 在说"作出一条线段平方根长度的线段"时, 一定事先指定了单位长度的线段。否则线段长度不能数值化, 谈不上开平方。在此基础上, 你这个问题分为两种情况。一种情况是已经给出了所要开平方的线段, 那么问题其实就是作这条线段和单位线段的等比中项。 这是有现成做法的。设AB为给定线段, 延长AB至C使BC = 1。过B作AC的垂线, 与以AC为直径的圆交于D。有∠ADC = 90°, 可证△ABD ∽ △DBC。则BD² = AB·BC = AB, 即BD = √AB。 这种情况对线段长是没有限制的, 如果给出的是长为π的线段, 一样能作出长为√π的线段。另一种情况是没有给出所要...全部
首先明确一点, 在说"作出一条线段平方根长度的线段"时, 一定事先指定了单位长度的线段。否则线段长度不能数值化, 谈不上开平方。在此基础上, 你这个问题分为两种情况。一种情况是已经给出了所要开平方的线段, 那么问题其实就是作这条线段和单位线段的等比中项。
这是有现成做法的。设AB为给定线段, 延长AB至C使BC = 1。过B作AC的垂线, 与以AC为直径的圆交于D。有∠ADC = 90°, 可证△ABD ∽ △DBC。则BD² = AB·BC = AB, 即BD = √AB。
这种情况对线段长是没有限制的, 如果给出的是长为π的线段, 一样能作出长为√π的线段。另一种情况是没有给出所要开平方的线段, 只是给出了要开平方的数值。这个问题的关键在于所给出的数值是否能用尺规作出。
若能作出, 那么问题化为第一种情况, 结果是能作出。若数值本身不能作出, 那么其平方根也必然不能作出(否则可作出平方根的平方, 矛盾)。所以问题化为哪些数值是能够作出的。这也是有定论的问题, 是尺规作图可能性问题证明的基础。
能够用尺规作出的数值一定是由整数出发经过有限次的四则运算和开平方能够得到的数。(如果事先给出了一些数值的线段, 也允许它们参与到运算中)。可行性很明显, 按照运算顺序逐步作出即可。其它的数值不可行, 是因为尺规作图的相交方程(直线与直线, 直线与圆, 圆与圆),都可化为一元一次或一元二次方程, 方程的解只会出现关于系数的二次根式和四则运算。
你举的例子, 因为r是可以尺规作图的, 所以√(2-r)也是可以的。说到正17边形, 建议参考wiki上"十七边形"词条, 其中给出了cos(2π/17)的根号表示。反面的例子: 倍立方体问题即作出2的立方根, 是不能尺规作图的,所以其平方根, 即2的6次方根, 也是不能尺规作图的。
因此只有部分的无理数是可以用尺规作图作出平方根的, 关键还是要看其本身是否能作出。收起
