函数的问题

一道函数问题

昨晚和今晨的来信都以收到，在昨晚【1】【2】解答的基础上根据你的补充给出【3】的结论。 提交前发现已经有人回答了，可惜楼上朋友没有详细过程，所以Un是怎么求错的无法给他指正。 不是 Un=-n/[2^(-n)] ，应该是 Un=-n*[2^(-n)]。 至于和你说的：如果在初始条件 f(2)=2 下，可以求出 f(x)=xlogx。因为需要补充f(x)在x=1点可导，而且还要用到高等数学微分方程方法，这里不适合多谈。 ========================================================= 【1】取a=b=1，据题意有 f(1)=2f(1)，所...全部

  昨晚和今晨的来信都以收到，在昨晚【1】【2】解答的基础上根据你的补充给出【3】的结论。 提交前发现已经有人回答了，可惜楼上朋友没有详细过程，所以Un是怎么求错的无法给他指正。 不是 Un=-n/[2^(-n)] ，应该是 Un=-n*[2^(-n)]。
   至于和你说的：如果在初始条件 f(2)=2 下，可以求出 f(x)=xlogx。因为需要补充f(x)在x=1点可导，而且还要用到高等数学微分方程方法，这里不适合多谈。 ========================================================= 【1】取a=b=1，据题意有 f(1)=2f(1)，所以f(1)=0； 取a=b=0，据题意有 f(0)=0。
   【2】先取a=b=-1，据题意有 f(-1)=0， 取a=-1，b=x，据题意有f(-x)=f[(-1)*x]=-f(x)+xf(-1)=-f(x), 所以 f(x)是奇函数。 【3】利用数学归纳法证明 f[2^(-n)]=-n*2^(-n)； ①初始验证 因为f(1)=0，f(2)=2，由 f(1)=f[2*(1/2)]=2f(1/2)+(1/2)*f(2)， 即 0=2f(1/2)+1，可得 f(1/2)=-1/2；说明n=1时结论正确； ②通项假定 设 n=k 时结论成立，即f[2^(-k)]=-k*2^(-k)； ③渐进递推 f{2^[-(k+1)]}=f[(1/2)*2^(-k)]=(1/2)f[2^(-k)]+[2^(-k)]f(1/2) =(1/2)[-k*2^(-k)]+[2^(-k)]*(-1/2)=-(k+1)*2^(-k-1) 那么 n=k+1 时结论也成立。
   所以 u(n)=f[2^(-n)]/n=-2^(-n), S(n)=u(1)+u(2)+u(3)+……+u(n)=2^(-n)-1。 。收起