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Borel函数是指可测函数的一类吧，那么问题不难了，只要利用证明Borel可测函数的结论论证g(x)也是Borel可测函数即可：
首先，对于一个可测的函数序列{Fn}，liminf{Fn}是可测的，
sup{Fn}也是可测的，两个可测函数之差是可测的，可测函数的绝对值也是可测的，知道上面的结论后：
|f(y)-f(x)|/r可测，
要证明：sup{|y-x|=r} |f(y)-f(x)|/r可测，
根据|y-x|=r，==> y=x+r, 或者 y=x-r，只考虑y=x+r的情形，另一种类似，那么：
|f(y)-f(x)|/r=|f(x+r)-f(x)|/r。
首先，f(x+r)-f(x)可测，得到|f(x+r)-f(x)|可测，在得到 F(x)=|f(x+r)-f(x)|/r可测，然后得到 sup{|y-x|=r} F(x)=sup{|y-x|=r} |f(y)-f(x)|/r可测。
所以，g(x)=liminf sup{|y-x|=r} |f(y)-f(x)|/r可测。 。
首先，f(x+r)-f(x)可测，得到|f(x+r)-f(x)|可测，在得到 F(x)=|f(x+r)-f(x)|/r可测，然后得到 sup{|y-x|=r} F(x)=sup{|y-x|=r} |f(y)-f(x)|/r可测。
所以，g(x)=liminf sup{|y-x|=r} |f(y)-f(x)|/r可测。 。
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