一道初三数学压轴题(1)求b的值
已知:抛物线y=-3/4x^2+5/4bx经过点E(5,0)
(1)求b的值
因为点E(5,0)在抛物线上，所以：
0=(-3/4)*25+(25/4)*b
所以，b=3
(2)设一正方形ABCD的顶点A、B在x轴上（点A在点B的左侧），顶点C、D在x轴上方的抛物线上，O为坐标原点；
1。 求此正方形的边长；
由(1)知，抛物线方程为：y=(-3/4)x^2+(15/4)x
=(-3/4)*[x^2-5x]
=(-3/4)*x(x-5)…………………………………………（i）
=(-3/4)*[x^2-5x+(25/4)]+(75/16)
=(-3/4)*[x-(5/2)]^2+(75/1...全部
已知:抛物线y=-3/4x^2+5/4bx经过点E(5,0)
(1)求b的值
因为点E(5,0)在抛物线上，所以：
0=(-3/4)*25+(25/4)*b
所以，b=3
(2)设一正方形ABCD的顶点A、B在x轴上（点A在点B的左侧），顶点C、D在x轴上方的抛物线上，O为坐标原点；
1。
求此正方形的边长；
由(1)知，抛物线方程为：y=(-3/4)x^2+(15/4)x
=(-3/4)*[x^2-5x]
=(-3/4)*x(x-5)…………………………………………（i）
=(-3/4)*[x^2-5x+(25/4)]+(75/16)
=(-3/4)*[x-(5/2)]^2+(75/16)………………………（ii）
由(i)式知，抛物线与x轴的两个交点分别为(0,0)、(5,0)
由(ii)式知，抛物线的对称轴为x=5/2，顶点为(5/2,75/16)，且开口向下
其草图如下
设点A的坐标为：A(a,0)
因为ABCD为正方形，那么它们就关于抛物线的对称轴x=5/2对称
所以，点B的坐标为：B(5-a,0)（因为B的横坐标=(5/2)+(5/2-a)=5-a）
那么，正方形ABCD的边长=AB=(5-a)-a=5-2a
而，对应点A(a,0)，其纵坐标为：
y=(-3/4)a^2+(15/4)a=AD
所以，(-3/4)a^2+(15/4)a=5-2a
===> (-3/4)a^2+(23/4)a-5=0
===> 3a^2-23a+20=0
===> (3a-20)(a-1)=0
===> a=20/3或者a=1
因为a=20/3>5/2，那么因为点A在对称轴的左侧，所以不符合条件，舍去
故，a=1
此时，正方形ABCD的边长=AB=5-2a=3
2。
在∠COB的内部是否存在着点P，使得⊙P与x轴、直线BC、直线OC都相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
由1知，正方形的边长为3，且点A(1,0)
那么，B(4,0)、C(4,3)、D(1,3)
连接OC
因为，ABCD为正方形，所以△BOC为直角三角形
且，OB=4，BC=3
由勾股定理得到：OC=5
那么，当⊙P与x轴、直线BC、直线OC都相切时，存在两种情况：
1）点P在Rt△BOC的内部，即P为△BOC内切圆的圆心（红色部分）
此时，内切圆P的半径r
有，(1/2)*(3+4+5)*r=(1/2)*3*4
所以，r=1
则，点P(3,1)
2）点P在Rt△BOC的外部，图中绿色部分
设点P1(x,y)
因为点P、P1均在∠BOC的角平分线上，所以：O、P、P1即是∠BOC的平分线。
亦即，OPP1共线
那么，由相似三角形就有：
1/y=3/x……………………………………………………（1）
而，图中绿色部分的四边形也是正方形，所以：
y=x-4………………………………………………………（2）
联立(1)(2)得到：
x=6
y=2
所以，点P1(6,2)
综上：这样点P是存在的，一共有两个：
P(3,1)和P1(6,2)。
收起
