已知函数f(x)=m×2^x+2×3^x,m∈R.
(Ⅰ)当m=-9时，求满足f(x+1)＞f(x)的实数x的范围 （Ⅱ）若f(x)≤(9/2)^x对任意的x∈R恒成立，求实数m的范围（Ⅲ）若存在m使f(x)≤a^x对任意的x∈R恒成立，其中a为大于1的正整数，求a的最小值
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(I) m=-9, f(x+1)>f(x)(2/3)^x2。
(II) f(x)≤(9/2)^x对任意的x∈R恒成立
(3/2)^x+(-m)(2/3)^x≥2对任意的x∈R恒成立。
∵ -m>0,即m<0时, (3/2)^x+(-m)(2/3)^x≥2√[(3/2)^x×(-m)(2/3)^x]=2√(-m)≥2对任意的x∈R恒成立, ∴ √(-m)≥1, 即m≤-1。
(III) 由(II)知,存在m∈(-∞,-1]使f(x)≤(9/2)^x对任意的x∈R恒成立,欲使f(x)≤a^x对任意的x∈R恒成立,只需a≥9/2, ∵ a∈N+, ∴ a的最小值=5。
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∵ -m>0,即m<0时, (3/2)^x+(-m)(2/3)^x≥2√[(3/2)^x×(-m)(2/3)^x]=2√(-m)≥2对任意的x∈R恒成立, ∴ √(-m)≥1, 即m≤-1。
(III) 由(II)知,存在m∈(-∞,-1]使f(x)≤(9/2)^x对任意的x∈R恒成立,欲使f(x)≤a^x对任意的x∈R恒成立,只需a≥9/2, ∵ a∈N+, ∴ a的最小值=5。
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