8年级数学已知:如图,在△ABC
已知:如图,在△ABC中,点E在边AC上,∠AEB=∠ABE+∠EBC。
(1)求证:∠ABE=∠C;
如图
根据三角形的外角等于不相邻两个内角之和，可以得到：
∠AEB=∠EBC+∠C
已知，∠AEB=∠ABE+∠EBC
所以：∠EBC+∠C=∠ABE+∠EBC
即：∠C=∠ABE
(2)若∠BAE的平分线AF交BE于点F,FD∥BC,交AC于点D,且AB=15,DC=13,求AC的长。
设AE=x
因为AF为∠BAE的平分线，则由角平分线定理可以得到：
AE/AB=EF/BF
附：【角平分线定理的证明：】
过点F作AE的平行线，交AB于点G
因为FG//AE
所以：BF/EF=BG...全部
已知:如图,在△ABC中,点E在边AC上,∠AEB=∠ABE+∠EBC。
(1)求证:∠ABE=∠C;
如图
根据三角形的外角等于不相邻两个内角之和，可以得到：
∠AEB=∠EBC+∠C
已知，∠AEB=∠ABE+∠EBC
所以：∠EBC+∠C=∠ABE+∠EBC
即：∠C=∠ABE
(2)若∠BAE的平分线AF交BE于点F,FD∥BC,交AC于点D,且AB=15,DC=13,求AC的长。
设AE=x
因为AF为∠BAE的平分线，则由角平分线定理可以得到：
AE/AB=EF/BF
附：【角平分线定理的证明：】
过点F作AE的平行线，交AB于点G
因为FG//AE
所以：BF/EF=BG/GA，且∠2=∠3
已知∠1=∠2
所以，∠1=∠3
所以，GA=GF
则，BF/EF=BG/GF…………………………………………（1）
而，△BFG∽△BEA
则，BG/BA=GF/AE
即：BG/GF=BA/AE…………………………………………（2）
由(1)(2)得到：BF/EF=BA/AE
即：AB/AE=BF/EF
这就是角平分线定理
所以：x/15=EF/BF
又已知，FD//BC
所以：EF/BF=ED/DC
即：x/15=ED/13
所以：ED=(13x)/15
那么，AC=AE+ED+DC=x+[(13x)/15]+13=(28x/15)+13
由(1)的结论知，∠ABE=∠C
而∠EAB=∠BAC
所以，△ABE∽△ACB
所以：AE/AB=AB/AC
即，x/15=15/[(28x/15)+13]
===> (28x^2/15)+13x-225=0
===> 28x^2+195x-3375=0
===> (28x-225)(x+15)=0
则，x1=225/28，x2=-15(舍去)
即，AE=225/28
那么，AC=(28x/15)+13=(28/15)*(225/28)+13=15+13=28。
收起
