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8年级数学

已知:如图,在△ABC中,点E在边AC上,∠AEB=∠ABE+∠EBC.(1)求证:∠ABE=∠C;(2)若∠BAE的平分线AF交BE于点F,FD∥BC,交AC于点D,且AB=15,DC=13,求AC的长.

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2009-06-25

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    已知:如图,在△ABC中,点E在边AC上,∠AEB=∠ABE+∠EBC。 (1)求证:∠ABE=∠C; 如图 根据三角形的外角等于不相邻两个内角之和,可以得到: ∠AEB=∠EBC+∠C 已知,∠AEB=∠ABE+∠EBC 所以:∠EBC+∠C=∠ABE+∠EBC 即:∠C=∠ABE (2)若∠BAE的平分线AF交BE于点F,FD∥BC,交AC于点D,且AB=15,DC=13,求AC的长。
     设AE=x 因为AF为∠BAE的平分线,则由角平分线定理可以得到: AE/AB=EF/BF 附:【角平分线定理的证明:】 过点F作AE的平行线,交AB于点G 因为FG//AE 所以:BF/EF=BG/GA,且∠2=∠3 已知∠1=∠2 所以,∠1=∠3 所以,GA=GF 则,BF/EF=BG/GF…………………………………………(1) 而,△BFG∽△BEA 则,BG/BA=GF/AE 即:BG/GF=BA/AE…………………………………………(2) 由(1)(2)得到:BF/EF=BA/AE 即:AB/AE=BF/EF 这就是角平分线定理 所以:x/15=EF/BF 又已知,FD//BC 所以:EF/BF=ED/DC 即:x/15=ED/13 所以:ED=(13x)/15 那么,AC=AE+ED+DC=x+[(13x)/15]+13=(28x/15)+13 由(1)的结论知,∠ABE=∠C 而∠EAB=∠BAC 所以,△ABE∽△ACB 所以:AE/AB=AB/AC 即,x/15=15/[(28x/15)+13] ===> (28x^2/15)+13x-225=0 ===> 28x^2+195x-3375=0 ===> (28x-225)(x+15)=0 则,x1=225/28,x2=-15(舍去) 即,AE=225/28 那么,AC=(28x/15)+13=(28/15)*(225/28)+13=15+13=28。
    。

2009-06-24

56 0
    (1)在△ABC中,点E在边AC上, ∵∠AEB=∠ABE+∠EBC。 外角∠AEB=∠C+∠EBC。 ∴∠ABE=∠C; (2)∵∠BAE的平分线AF交BE于点F,∴AB:AE=BF:EF, 又∵FD∥BC,交AC于点D,且AB=15,DC=13, ∴BF:EF=CD:DE,----AB:AE=CD:DE----15:AE=13:DE--DE=13AE/15。
     ∵∠ABE=∠C,∠BAE=∠CAB ∴△ABE∽△ACB AB:AE=AC:AB AB^2=AE*AC----AC=225/AE,----AE+ED+CD=225/AE AE+13AE/15+13=225/AE 28AE^2+195AE-3375=0 AE=225/28 AC=28。
    。

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