有关三角形外接圆半径
命题: 锐角三角形的三条中线组成的三角形，它的外接圆半径大于原三角形外接圆半径的5/6。
证明 设锐角三角形ABC的三边长为a,b,c，极对应的中线分别为ma,mb,mc，R,S为锐角三角形ABC的外接圆半径和面积。 而以三角形三中线组成的面积为3S/4。根据三角形恒等式:abc=4R*s，故只需证明:
8ma*mb*mc>5abc， (1)
设a=2d，ma=m，ma与BC边所成锐角的余弦为k，根据余弦定理得:
(2mb/3)^2=d^2+m^2/9-dmk/3 4*(mb)^2=9*d^2+m^2-6*d*m*k，
(2mc/3)^2=d^2+m^2/9+dmk...全部
命题: 锐角三角形的三条中线组成的三角形，它的外接圆半径大于原三角形外接圆半径的5/6。
证明 设锐角三角形ABC的三边长为a,b,c，极对应的中线分别为ma,mb,mc，R,S为锐角三角形ABC的外接圆半径和面积。
而以三角形三中线组成的面积为3S/4。根据三角形恒等式:abc=4R*s，故只需证明:
8ma*mb*mc>5abc， (1)
设a=2d，ma=m，ma与BC边所成锐角的余弦为k，根据余弦定理得:
(2mb/3)^2=d^2+m^2/9-dmk/3 4*(mb)^2=9*d^2+m^2-6*d*m*k，
(2mc/3)^2=d^2+m^2/9+dmk/3 4*(mc)^2=9*d^2+m^2+6*d*m*k，
b^2=m^2+d^2+2*d*m*k， c^2=m^2+d^2-2*d*m*k。
所以(1)式等价于
4*m^2*[9*d^2+m^2-6*d*m*k]*[9*d^2+m^2+6*d*m*k]>100*d^2*[m^2+d^2+2*d*m*k]*[m^2+d^2-2*d*m*k]
m^2*(9*d^2+m^2)^2-25*d^2*(m^2+d^2)^2>d^2*m^2*k^2*(36*m^2-100*d^2)，
(m^2+4d*m+5d^2)*(m^2-4d*m+5d^2)*(m^2-d^2)>d^2*m^2*k^2*(36*m^2-100*d^2)， (2)
因为锐角三角形，所以m>d，0(4b^2+a^2)*(4a^2+b^2)≥25a^2*b^2，
4(a^2-b^2)^2≥0。
证毕。收起
